Ableitung bei mehreren verkettungen

04.01.2009, 12:50

eey

Ableitung bei mehreren verkettungen

hallo zusammen,

ich sitz jetzt schon seit n paar tagen an unserem neustem aufgabenblatt
für mathe und konnte alle übungen zum differenzieren lösen außer zwei
- eine davon konnte ich mittlerweile lösen aber nicht so ganz verstehen

also erst mal die die ich immerhin lösen konnte:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$

die ist ja abgeleitet

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x^x(1+ln(x)) \end{eqnarray*}$

ok soweit so gut, das bekommt man ja mit logarithmischer differentiation
relativ einfach raus, jetzt nur mein verständniss problem:

WARUM muss ich hier erst logarithmieren? Weil die variable in der Basis UND im Exponenten steht?
Oder wieso funktioniert hier die normale Regel zum ableiten nicht, nach der
die Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x)=x*x^x-1 \end{eqnarray*}$

wäre?

Und woran erkennt man wann die einfache regel nicht mehr funktioniert?

Ok, das wäre die erste, die zweite ist ziemlich ätzend und zwar:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(ln(tan(sqrt(x^2+1)))) \end{eqnarray*}$
(ups, wie fügt man denn wurzeln bei diesem latex ein?)

ok das ist ja offensichtlich eine verkettung mehrerer Funktionen, jetzt mein Problem
wie leitet man sowas ab? Im Papula und in dessen Formelsammlung werden nur verkettungen aus 2 Funktionen erklährt, nicht aus mehreren....
Wie löst man sowas?

Vielen Dank schon im vorraus für eure Hilfe,

würde mich sehr freuen falls jemand mir weiterhelfen könnte... smile

eey

04.01.2009, 14:09

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung bei mehreren verkettungen

Zitat:

WARUM muss ich hier erst logarithmieren? Weil die variable in der Basis UND im Exponenten steht?
Oder wieso funktioniert hier die normale Regel zum ableiten nicht, nach der
die Ableitung

Was verstehst du unter "normaler Regel"? Was ist bitteschön logarithmische Differentiation?

Du formst einfach klassisch um:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^x=e^{x\cdot ln(x)} \end{eqnarray*}$

und das ist abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(1\cdot ln(x)+x\cdot\frac{1}{x})\cdot e^{x\cdot ln(x)}=(ln(x)+1)x^x \end{eqnarray*}$

Zitat:

ok das ist ja offensichtlich eine verkettung mehrerer Funktionen, jetzt mein Problem
wie leitet man sowas ab? Im Papula und in dessen Formelsammlung werden nur verkettungen aus 2 Funktionen erklährt, nicht aus mehreren....
Wie löst man sowas?

Das ist nicht großartig anders. Nocheinmal die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(ln(tan(\sqrt{x^2+1}))) \end{eqnarray*}$

Ableiten:

So, die äußerste Funktion ist $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung dieser Funktion kennst du, sie lautet $\begin{eqnarray*} -sin(...) \end{eqnarray*}$ mal innere Ableitung.

Nun, was ist denn die innere Ableitung?

Doch wohl die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(...) \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ kennst du, sie lautet $\begin{eqnarray*} \frac{1}{...} \end{eqnarray*}$ mal innere Ableitung.

Nun, was ist denn hier die innere Ableitung?

Doch wohl die Ableitung von $\begin{eqnarray*} tan(...) \end{eqnarray*}$ .

u.s.w.

Das ist alles nur etwas verschachtelt.

Ein Tipp: Gehe Schritt für Schritt.

Gruß

04.01.2009, 14:14

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung bei mehreren verkettungen

Zitat:

Original von Romaxx
Was verstehst du unter "normaler Regel"? Was ist bitteschön logarithmische Differentiation?

Ich vermute unter "normaler Regel" versteht er die Potenzregel zum Ableiten von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^a \end{eqnarray*}$ , was hier natürlich kein Sinn macht.

Mit logarithmischer Differentiation meint er wohl das hier:

$\begin{eqnarray*} y = x^x \Longleftrightarrow \ln y = x \ln x \end{eqnarray*}$

Durch Ableiten erhält man $\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y} = 1+\ln x \Longleftrightarrow y' = y(1+ \ln x) \end{eqnarray*}$

04.01.2009, 18:49

eey

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung bei mehreren verkettungen

Zitat:

Original von tmo

Zitat:

Original von Romaxx
Was verstehst du unter "normaler Regel"? Was ist bitteschön logarithmische Differentiation?

ja, genau das steht im papula unter logarithmischer differentiation...
nur mein verständnisproblem ist WARUM muss ich logarithmisch differentieren?
Also was ist der Grund dass das "normale" differentieren
per potenzregel:
$\begin{eqnarray*} (x^n)'=n*x^(n-1) \end{eqnarray*}$

nicht funktioniert? Also warum macht das hier keinen Sinn? Liegt das daran dass die Variable im exponenten steht? und gibts noch andere Funktionen bei denen die Potenzregel versagt und man erst so komisch umformen muss?

aber danke schonmal für die antworten, versuch jetzt mal die verkettete funktionzu lösen

04.01.2009, 21:51

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Liegt das daran dass die Variable im exponenten steht

Genau daran liegt es.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung bei mehreren verkettungen

Verwandte Themen