geometrische Vielfachheit bestimmen

04.01.2009, 14:42	MMel	Auf diesen Beitrag antworten »
geometrische Vielfachheit bestimmen Hallo, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Ich soll die geometrische Vielfachheit der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestimmen. Dazu brauche ich ja zunächst die Eigenwerte, diese habe ich berechnet und folgende Werte erhalten: $\begin{eqnarray} \lambda_1=2 und \lambda_2=3 \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich allerdings nicht mehr weiter. Die geometrische Vielfachheit ist ja die Dimension des Eigenraumes zu dem jeweiligen Lamda. In unserem Skript haben wir in einem Beispiel die Diagonale der Matrix, also a11, a22 und a33 jeweils -lambda gerechnet also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und aus dieser Matrix dann die Eigenwerte bestimmt. Dann haben wir den jeweiligen Eigenwert für Lambda eingesetzt und somit eine neue Matrix erhalten, also z.B. für $\begin{eqnarray} \lambda_1=2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da ja laut Definition der Eigenraum alle Vektoren x enthält, die die Gleichung $\begin{eqnarray} Ax=\lambdax \end{eqnarray}$ erfüllen, habe ich folgende Gleichung erstellt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und daraus dieses LGS gemacht: $\begin{eqnarray} x_1+x_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2+x_3=0 \end{eqnarray}$ So...und jetzt weiß ich nicht mehr weiter.... ich habe überlegt, ob ich jetzt nicht einfach x_3 gleich Lambda setzen könnte und dann wäre x_2 =-lambda und x_1=lambda. Das könnte ich ja auch schreiben als $\begin{eqnarray} \lambda * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Wäre dann dieser Vektor meine Basis des Eigenraumes und somit das geometrische Vielfache 1?? Vielen Dank für eure Hilfe!
04.01.2009, 17:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: geometrische Vielfachheit bestimmen Bis jetzt alles richtig Nur hat ja $\begin{eqnarray} \lambda=2 \end{eqnarray}$ auch die algebraische Vielfachheit eins und insofern war die Berechnung eigentlich gar nicht mehr notwendig. Der Eigenraum kann ja nur die Dimension eins haben. Der Fall $\begin{eqnarray} \lambda=3 \end{eqnarray}$ ist hier interessanter, da die algebraische Vielfachheit hier zwei beträgt, die geometrische dagegen, kann eins oder zwei sein.
12.09.2009, 12:58	ces	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wir sind auf der Suche nach der geometrischen Vielfachheit über dieses Thema gestolpert und haben uns an der geom. Vielf. für $\begin{eqnarray} \lambda = 3 \end{eqnarray}$ versucht. dabei kamen wir auf die neue Matrix: $\begin{eqnarray} A_{ \lambda = 3 } =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus haben wir einen Basisvektor gefolgert: $\begin{eqnarray} a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist somit die geometrische Vielfachheit für $\begin{eqnarray} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ 1 ? Wir wären sehr froh um eine schnelle Antwort Vielen Dank im Vorraus Grüße C. + D.
12.09.2009, 16:05	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die geometrische Vl. von EW 3 ist $\begin{eqnarray} \mu (3) = 1 \end{eqnarray}$ . Eigenraum lautet: $\begin{eqnarray} Eig(3)=\{x \in \mathbb R^3 \| x=a\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \land a \in \mathbb R \} \end{eqnarray}$

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