Mengenproblem

04.01.2009, 15:45

wlodak

Mengenproblem

Hallo,
ich stehe vor folgender Aufgabe:

Eine Menge A enthält m aufeinander folgende ganze Zahlen, die Summe dieser Zahlen ist 2m.
Eine Menge B enthält 2m aufeinander folgende ganze Zahlen, die Summe dieser Zahlen ist m.
Die größte Zahl aus A unterscheidet sich von der größten Zahl aus B dem Betrag nach um 1003.
Für welche m ist das möglich?

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank!

05.01.2009, 15:35

mYthos

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Stammt die Aufgabe aus einem (laufenden) Wettbewerb? Es riecht eventuell danach ...
Hoffentlich nicht.

Ein Mengenproblem ist das keineswegs, sondern es handelt sich um zwei arithmetische Reihen mit der Differenz 1, weil deren Glieder natürliche, aufeinanderfolgende Zahlen sind.

Setze deren Summen mit 2a + m - 1 bzw. 2b + 2m - 1 (a, b sind jeweils die ersten Glieder) an. Das letzte Glied ist jeweils a + m - 1 bzw. b + 2m -1

Mit den Angaben können drei lineare Gleichungen in a, b, m erstellt werden, wobei die letzte eine Betragsgleichung ist, die eine Fallunterscheidung erfordert. m muss eine natürliche Zahl sein.

Übrigens: Die Lösung hat etwas mit dem neuen Jahr zu tun ...

Nach Algebra *** verschoben ***

mY+

05.01.2009, 21:26

wlodak

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Danke mY+,

ich glaube nicht, dass die Aufgabe aus einem laufenden Wettbewerb stammt.

Die Klasse meines Sohnes (8. Klasse) hat sie von ihrem Mathelehrer als "Weihnachtsgeschenk" erhalten. Da anscheinend keiner auf die Lösung gekommen ist, wollte ich (Vater) meinem Sohn zeigen, dass ich nicht alles verlernt habe.

Ich muss jedoch zugeben, dass mich der Lösungsansatz überfordert. Ich kann mich an diese Problemstellungen zu meiner Schulzeit auch gar nicht erinnern.

Ist es möglich, die Lösung noch etwas verständlicher zu formulieren?

Viele Grüße.

wlodak

05.01.2009, 22:01

mYthos

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Ja, es ist eine nette Weihnachtsaufgabe und hat auch etwas mit dem neuen Jahr 2009 zu tun.

Dazu sind Kenntnisse über arithmetische Reihen und das Auflösen eines linearen Gleichungssystemes notwendig. Frag' man deinen Sohn danach, darüber müsste er etwas wissen.

$\begin{eqnarray*} a_n = a_1 + (n-1)d \end{eqnarray*}$

a1 .. erstes Glied (Anfangsglied), an .. allgemeines Glied, d .. Differenz, n Anzahl der Glieder

$\begin{eqnarray*} s_n = (a_1 + a_n) \frac{n}{2} = [2a_1 + (n-1)d] \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

sn .. Summe von n Gliedern

Darauf ist nun die Angabe umzusetzen. Beide Reihen haben die Differenz 1, deren Anfangsglieder seien a bzw. b, die erste Reihe hat m, die zweite 2m Glieder, die Summe der ersten ist 2m, die der zweiten m.

Das wär's schon, daraus sollen dein Sohn oder du nun die 3 entsprechenden Gleichungen erstellen. Beachte, dass nur m gefragt ist, also sollte man a, b eliminieren. Da m eine positive ganze Zahl sein soll, ist beim Betrag nur diese Möglichkeit zu nehmen, die dieser Bedingung genügt.

[Lösung: m = 2009]

Ich schreibe euch diese Lösung zwar, aber zu errechnen ist sie natürlich von euch. Hilfe dazu und Antwort auf konkrete Fragen könnt ihr natürlich erwarten.

mY+

06.01.2009, 18:24

wlodak

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Hallo mY+,

danke für die neuerlichen Hinweise.

Allerdings kommen bei meinem Sohn die linearen Gleichungen erst später im Lehrplan und im Mathebuch (umso unverständlicher ist für mich die Aufgabenwahl des Mathelehrers). Was arithmetische Reihen betrifft, so beschränken sich meine Kenntnisse auf die "Gaußsche Summenformel.

Ich muss also leider passen. Ich finde keinen Weg zur Lösung der Aufgabe.

Viele Grüße!

06.01.2009, 18:55

Jacques

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Hallo,

Wenn lineare Gleichungssysteme erst später kommen -- und arithmetische Summen sind noch anspruchsvoller --, dann ist die Aufgabe ein bisschen zu viel des Guten. Diese Objekte muss man einfach kennen (und beherrschen), um den Sachverhalt mathematisch beschreiben zu können.

Warum hakst Du das Thema also nicht einfach ab? Also ich finde die Mühe nur sinnvoll, wenn Dich die Aufgabe persönlich interessiert. Dann wirst Du Dich aber nochmal über Wikipedia o. ä. über die Grundlagen informieren müssen. Ohne geht es ja nicht.

06.01.2009, 23:24

mYthos

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Die bereits gegebenen Hinweise hätten den Weg zur Lösung wesentlich erleichtern können. Die entstehenden linearen Gleichungen sind zudem sehr einfach. Ich führe daher des Interesses halber die Aufgabe noch zu Ende, auch deshalb, damit das Thema abgeschlossen ist.

$\begin{eqnarray*} [2a + (m - 1)] \frac{m}{2} = 2m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [2b + (2m - 1)]\frac{2m}{2} = m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a + m - 1 - (b + 2m - 1)| = 1003 \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} 2a + m - 1 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b + 2m - 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a - b - m| = 1003 \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} a = \frac{5-m}{2} \ ; \ b = 1-m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{3 - m}{2} \mid = 1003 \end{eqnarray*}$

Das Vorzeichen des Bruches innerhalb des Betrages muss so gewählt werden, dass die Lösung für m positiv ist, wenn der Betrag aufgelöst wird:

$\begin{eqnarray*} m - 3 = 2006 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m = 2009 \end{eqnarray*}$
=========

mY+

24.01.2009, 10:54

e^x

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Die Aufgabe stammt aus dem derzeit laufenden Landeswettbewerb Mathematik aus der 2. Runde.

27.01.2009, 11:46

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
Stammt die Aufgabe aus einem (laufenden) Wettbewerb? Es riecht eventuell danach ...
Hoffentlich nicht.
...
mY+

Die Ahnung hat also nicht getrogen. Schade @wlodak, dass das Vertrauen so missbraucht wurde. Es sollte bereits hinlänglich bekannt sein, dass Aufgaben aus einem laufenden Wettbewerb hier NICHT behandelt werden!

*** geschlossen ***

mY+

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