Normalenfeld/Satz von Gauß

04.01.2009, 16:48

vektorraum

Normalenfeld/Satz von Gauß

Hi!

Folgende Aufgabe: Betrachten Sie den Paraboloidstumpf auf der (x,y)-Ebene mit

$\begin{eqnarray*} G:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~0<z<1-x^2-y^2\}. \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie das äußere Normalenfeld.

b) Berechnen sie für das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} v=v(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z) \end{eqnarray*}$ sowohl direkt als auch mit dem Satz von Gauß das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial G}v\cdot dA \end{eqnarray*}$ .

a) Bei Aufgabe a komme ich nicht sehr weit. Meine erste Idee ist, dass ich das ganze auffasse als Fläche mit der Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,y,f(x,y)=z) \end{eqnarray*}$ .

Bilden der partiellen Ableitungen, Kreuzprodukt bilden, normieren. Damit erhalte ich einen normierten Normalenvektor. Doch wie bestimmt man dann das äußere Normalenfeld?

b) Es gilt:

$\begin{eqnarray*} div~v=(x+y)_x+(y+z)_y+(x+z)_z \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich z einsetzen mit $\begin{eqnarray*} z=1-x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ und die partiellen Ableitungen bilden. Anschließend nach dem Satz von Gauß

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial G}v\cdot dA=\int_G div~v~d(x,y,z)=\ldots \end{eqnarray*}$

Soweit erstmal richtig?

Direkt ausrechnen heißt in dem Fall einfach den Oberflächeninhalt bestimmen, oder?

Vielen Dank und Grüße,
VR Wink

05.01.2009, 12:15

Abakus

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RE: Normalenfeld/Satz von Gauß

Zitat:

Original von vektorraum
a) Bei Aufgabe a komme ich nicht sehr weit. Meine erste Idee ist, dass ich das ganze auffasse als Fläche mit der Parametrisierung

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x,y,f(x,y)=z) \end{eqnarray*}$ .

Bilden der partiellen Ableitungen, Kreuzprodukt bilden, normieren. Damit erhalte ich einen normierten Normalenvektor. Doch wie bestimmt man dann das äußere Normalenfeld?

Interessant sind die Normalenvektoren auf dem Paraboloid, und die solltest du damit haben. Ansonsten gibt es noch den unteren Boden von dem Teil.

Zitat:

b) Es gilt:

$\begin{eqnarray*} div~v=(x+y)_x+(y+z)_y+(x+z)_z \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich z einsetzen mit $\begin{eqnarray*} z=1-x^2-y^2 \end{eqnarray*}$ und die partiellen Ableitungen bilden. Anschließend nach dem Satz von Gauß

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial G}v\cdot dA=\int_G div~v~d(x,y,z)=\ldots \end{eqnarray*}$

Soweit erstmal richtig?

Direkt ausrechnen heißt in dem Fall einfach den Oberflächeninhalt bestimmen, oder?

Genauer ja den Fluss durch die Oberfläche, irgendwie muss da noch das Normalenfeld ins Spiel kommen.

Grüße Abakus smile

05.01.2009, 18:40

vektorraum

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RE: Normalenfeld/Satz von Gauß

Zitat:

Original von Abakus
Interessant sind die Normalenvektoren auf dem Paraboloid, und die solltest du damit haben. Ansonsten gibt es noch den unteren Boden von dem Teil.

@Abakus: Danke für deine Antworten. Ich habe jetzt die Normalenvektoren auf dem Paraboloid bestimmt. Diese sind gegeben durch

$\begin{eqnarray*} n=\cfrac{1}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}}\begin{pmatrix}2x\\2y\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Normalenvektoren bzgl. des Bodens haben doch einfach die Gestalt $\begin{eqnarray*} n=(0,0,-1) \end{eqnarray*}$ oder?

Ist damit schon das äußere Normalenfeld gegeben? Außerdem die Frage, ob ich überhaupt normieren muss, da ja nicht nach dem Einheitsnormalenfeld gefragt ist, oder??? Was wäre denn der Unterschied bzgl. des inneren Normalenfelds auf der Paraboloidfläche? Einfach anderes Vorzeichen?

Zitat:

Genauer ja den Fluss durch die Oberfläche, irgendwie muss da noch das Normalenfeld ins Spiel kommen.

Grüße Abakus smile

Ok. Wenn ich das direkt berechne, würde ich den Ansatz machen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial G}v dA=\int_{\partial G}v\cdot n~dA \end{eqnarray*}$

D.h. einfach Skalarprodukt des Vektorfelds und des Normalenvektors bilden.

Die Frage ist dann natürlich, ob man nicht eine Koordinatentransformation macht, da das entstehende Integral ziemlich häßlich ist, oder?

Nach dem Satz von Gauß würde ich einfach folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial G}vdA=\int_G div~v~d(x,y,z)=\int_G 3~d(x,y,z)=3\cdot\int_G~d(x,y,z,)=3\cdot Vol(G) \end{eqnarray*}$

D.h. einfach das Volumen bestimmen? Auch hier eher Koordinatentransformation, z.B. Zylinderkoordinaten, oder?

Danke für die Unterstützung.

06.01.2009, 19:38

Abakus

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RE: Normalenfeld/Satz von Gauß
OK... ich denke, bisher alles richtig. Mit der Aufgabe ist gemeint, dass du den Fluss auf beide Arten ausrechnen sollst, einmal über die Divergenz über das Volumen und einmal als Fluss durch die Oberfläche.

Bei der weiteren Berechnung bieten sich zB Polarkoordinaten an, ja.

Grüße Abakus smile

06.01.2009, 23:06

vektorraum

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RE: Normalenfeld/Satz von Gauß
Kannst du mir noch diese Fragen bitte beantworten, Abacus?

Zitat:

Außerdem die Frage, ob ich überhaupt normieren muss, da ja nicht nach dem Einheitsnormalenfeld gefragt ist, oder??? Was wäre denn der Unterschied bzgl. des inneren Normalenfelds auf der Paraboloidfläche? Einfach anderes Vorzeichen?

Den Rest der Aufgabe rechne ich morgen (bzw. heute) nochmal durch.

Danke erstmal!!!

07.01.2009, 17:21

Abakus

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RE: Normalenfeld/Satz von Gauß
Die Normalenrichtung ist fest, du hast nur die Wahl zwischen 2 Orientierungen (vorausgesetzt, du hast eine orientierbare Fläche), hier eben innen und außen. Der Unterschied ist nur das Vorzeichen, ja.

Für den ersten Teil der Aufgabe brauchst du dein Normalenfeld wohl nicht normieren (schau mal eure Definition dazu an, möglich, dass da dennoch Einheitsvektoren gefordert wurden).

Grüße Abakus smile

07.01.2009, 18:28

vektorraum

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RE: Normalenfeld/Satz von Gauß
Vielen Dank, Abacus. Ich habe die Aufgabe nun endlich gelöst, nachdem ich heute mal Zeit hatte, mich intensiv damit auseinanderzusetzen. Es fällt wirklich auf, dass der Weg über den Integralsatz einfacher ist Augenzwinkern

Hatte einen Denkfehler bei der Parametrisierung des Randes - bin immer vom gesamten Paraboloiden ausgegangen.

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