[Numerik I] - Übung 6 * |
05.01.2009, 00:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
[Numerik I] - Übung 6 *
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05.01.2009, 00:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
6.1 Determinante der Vandermonde-Matrix Vorab mache man sich mit den Rechenregeln für Matrizen vertraut. Entscheidend sind
Der Übersichtlichkeit wegen sei n=4. Der Beweis funktioniert allgemein genauso. |
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05.01.2009, 00:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
6.2 Vandermonde Matrix und Polynominterpolation Damit ein IP vom Grad kleiner gleich n-1 die Langrange Interpolationsbedingung erfüllt muss gelten: Notiert man diese Forderungen in Form eines LGS, so erhält man Ma=y, wobei M die Gestalt einer Vandermonde Matrix hat. Sind die Knoten paarweise verschieden, so ist die Determinante (siehe 6.1) von 0 verschieden und somit die Matrix regulär. Das LGS besitzt eine eindeutige Lösung a und somit ist auch das interpolierende Polynom eindeutig. |
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05.01.2009, 00:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
6.3 Begleitmatrix eines Polynoms Teilaufgabe a Notieren wir uns zunächst einmal die zu berechnende Determinante: Entwickeln wir sie nach der ersten Zeile, so erhält man: Die zweite Matrix ist eine obere Dreiecksmatrix mit (-1) auf der Diagonale. Die erste Matrix ist von der gleichen Gestalt wie die ursprüngliche Matrix, nur um 1 in der Länger kleiner. Somit folgt der Beweis durch Induktion. Für n=1 ist die Behauptung offensichtlich korrekt: Sei nun die Behauptung richtig für n-1, so folgt: Teilaufgabe b Um die Behauptung zu zeigen, löst man ein äquivalentes Problem. So kann man auf bekannte Matrizen zurückgreifen Dabei gilt laut Aufgabenstellung: Die Gleichheit der ersten Spalten sei anhand eines Beispiels illustriert: Für Gleichhiet die letzte Spalte benötigen wir das wissen, dass die die Nullstellen und die die Koeffizienten von p sind. Somit ergibt sich: Teilaufgabe c Da die Koeffizienten nicht explizit bekannt sind, kann man keine Aussage darüber Treffen, wie die Kreise genau aussehen und ob es disjunkte "Gruppen" gibt. Man kann aber den Satz von Gerschgorin auf und anwenden. Für die transponierte Matrix ergibt sich: Alternativ kann man die gröbere Abschätzung (Link) verwenden. |
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05.01.2009, 00:55 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
6.4 Berechnung und Auswerten eines IPS
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31.01.2009, 00:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hier geht es weiter: [Numerik I] - Blatt 7 |
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