[Numerik I] - Übung 8 * |
05.01.2009, 01:04 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
[Numerik I] - Übung 8 *
|
||||||||||||||
05.01.2009, 01:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
8.1 Algorithmus nur mit "*" und "+" Die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens lautet: Die Funktion erfüllt die geforderten Bedingungen. Sie ist zweimal stetig differenzierbar und somit konvergiert as Newton Verfahren lokal quardratisch. Eingesetzt ergibt sich eine Iterationsvorschrift, die nur mit "*" und "+" auskommt. Beispiel für a=3:
|
||||||||||||||
05.01.2009, 01:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
8.2 Riemannsches Lemma ohne Bearbeitung. |
||||||||||||||
05.01.2009, 01:06 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
8.3 Ordnung von NCF-Formeln Für gerades n (also n=2m ) und (damit 2m+1 => ungerade) zur Intervallmitte symmetrischen (SIM) Stützstellen (Knoten), hat die zugehörige interpolatorische Quadraturformel sogar die Ordnung 2m+2. Man kann dies z.B. durch die exakte und numerische Integration der Testfunktion zeigen. Für einen anderen Weg braucht man die folgenden Hilfsresultate. ************************************************************** Hilfsresultat 1: Beweis: Für die SIM-Knoten gilt: . Somit gilt für das Knotenpolynom : Substituiert man nun x = a+b-y = g(y), so erhält man nach der Substitutionsregel für Integrale: . Daher folgt: *********************************************************** Hilfsresultat 2: Sei nun ein weiterer Knoten und das die Daten interpolierende Polynom, so folgt: Beweis: Die Newton -Form von lautet: Mit dem Hilfsresultat 1 folgt dann: *********************************************************** Beweis: So, kommen wir zu obiger Behauptung zurück. Welche Ordnung hat die Quadraturformel mit SIM-Stützstellen? Wegen und somit folgt die Behauptung. |
||||||||||||||
05.01.2009, 01:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
8.4 Extrapolation der Trapezregel Wir interessieren uns für das Integral Nun soll das Integral durch Extrapolation der Trapezregel bestimmt werden. D.h. zu den Vorgaben h=1,1/2,1/4,1/8 bestimmen wir die Werte, indem das Intervall in Teilintervalle unterteilt wird und dort das Teilintegral Funktionf jeweils über die Trapezregel approximiert wird. Aus der Fehlerformel entnimmt man die Konvergenz gegen das gesuchte Integral bei Extrapolation der Maschenweite gegen 0.
Zunächst einmal das komplette Interval [-1,1]: Anhand des aufgeteilten Intervalls (Programm verarbeitet keine abschnittsweise definierten Funktionen) soll das Romberg Verfahren gezeigt werden. Die erste Zeile des Schemas entspricht der Summierten Trapezregel. Dann werden aus bekannten Formeln neue Formeln höherer Ordnung.
|
||||||||||||||
31.01.2009, 00:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hier geht es weiter: [Numerik I] - Übung 9 * |
||||||||||||||
Anzeige | ||||||||||||||
|
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|