[Numerik I] - Übung 9 *

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[Numerik I] - Übung 9 *
Aufgaben Teil 1

  1. Gauss-Quadratur

  2. Golub-Welsh

  3. Quadratische Splines
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
9.1 Gauss-Quadratur
Teilaufgabe a









Teilaufgabe b1

Die Knoten der Gaussquadratur sind die Nullstellen von . Da es hier ein quadr. Polynom ist, zieht man die Lösungsformel der Eigenwertbestimmung nach Golub& Welsh vor.





Die Gewichte erhält man über die gewichtete Integration der Lagrange-Polynome:





Somit gilt die Approximation:




Teilaufgabe b2

Wir interessieren uns nun für das Integral



das auf den ersten Blick nicht zu unserer Vorarbeit passt. Die Verwendung der Variable t gibt uns den entscheidenden Tipp für die Substitution





Und wir erhalten schließlich:





Somit ergibt sich für die Quadraturformel:




Teilaufgabe b3

Mit der Potenzreihendarstellung des Sinus



ergibt sich



Lässt man das für ein paar Summanden laufen, so ergibt sich

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
test91
n eingeben: 10
n =
    10
 n         PR        
=====================
sum =
     0
  10      0.6   
  10      0.554545   
  10      0.556016   
  10      0.55599   
  10      0.55599   
  10      0.55599   
  10      0.55599   
  10      0.55599   
  10      0.55599   
  10      0.55599   
  10      0.55599 


Was der Näherungsberechnung des Integrals mit maple entspricht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
9.2 Das Verfahren von Golub & Welsh
Den Beweis werde ich nicht anführen. Man kann ihn z.B. in "G.Opfer - Numerische Mathematik für Anfänger" nachlesen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
9.3 Lokaler quadratischer Spline
Wie sind also hier die 3n Bedingungen zu wählen?






____________________________________________________



Für die benötigten 3n-Koeffizienten fügt man also noch 1 Bedingungen, z.B.




Dividierte Differenzen für quadr. Splines

Damit erhält man bei der Anwendung der Newton-Form des Interpolationspolynoms folgendes Schema der dividierten Differenzen:



Mit dem Wissen über die Hermite-Interpolation ist diese Restriktion eindeutig bestimmt. Ihre eindeutig bestimmbare Ableitung in determiniert dann usw.


Teilaufgabe a

Es ergibt sich für die Restriktion R0:





Nun soll gelten:





Somit ist u1 eindeutig aus den Angaben berechenbar. Allgemein erhält man j>2



Umgestellt wird das zu



Was uns auf ein offensichtlich reguläres LGS führt:



Mit den so bestimmten u kann man dann die Restriktionen angeben:




Teilaufgabe b

Nun gibt man anstatt einer Ableitung den Wunsch nach Periodiziät vor. D.h. es soll gelten



Wieder stellt man die Hermiteform auf, dabei kürzen wir wieder analog ab:









Nun soll gelten:







Das ergibt dann eine Matrix, deren Diagonalelemente alle 1 sind und auch die erste (obere) Nebendiagonale ist mit Einsen gefüllt. Ferner ist



Diese Matrix ist regulär. Allerdings ist diese Matrix singulär:



Somit folgt mit allgemeiner Entwicklung nach Laplace. Entwickelt man nach der ersten Spalte, so sind die neuen Determinantenmatrizen obere und untere Dreiecksmatrizen mit det 1. Entscheidend sind also die Vorfaktoren:



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