[Numerik I] - Übung 9 * |
05.01.2009, 01:11 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
[Numerik I] - Übung 9 *
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05.01.2009, 14:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
9.1 Gauss-Quadratur Teilaufgabe a Teilaufgabe b1 Die Knoten der Gaussquadratur sind die Nullstellen von . Da es hier ein quadr. Polynom ist, zieht man die Lösungsformel der Eigenwertbestimmung nach Golub& Welsh vor. Die Gewichte erhält man über die gewichtete Integration der Lagrange-Polynome: Somit gilt die Approximation: Teilaufgabe b2 Wir interessieren uns nun für das Integral das auf den ersten Blick nicht zu unserer Vorarbeit passt. Die Verwendung der Variable t gibt uns den entscheidenden Tipp für die Substitution Und wir erhalten schließlich: Somit ergibt sich für die Quadraturformel: Teilaufgabe b3 Mit der Potenzreihendarstellung des Sinus ergibt sich Lässt man das für ein paar Summanden laufen, so ergibt sich
Was der Näherungsberechnung des Integrals mit maple entspricht. |
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06.01.2009, 00:38 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
9.2 Das Verfahren von Golub & Welsh Den Beweis werde ich nicht anführen. Man kann ihn z.B. in "G.Opfer - Numerische Mathematik für Anfänger" nachlesen. |
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06.01.2009, 00:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
9.3 Lokaler quadratischer Spline Wie sind also hier die 3n Bedingungen zu wählen? ____________________________________________________ Für die benötigten 3n-Koeffizienten fügt man also noch 1 Bedingungen, z.B. Dividierte Differenzen für quadr. Splines Damit erhält man bei der Anwendung der Newton-Form des Interpolationspolynoms folgendes Schema der dividierten Differenzen: Mit dem Wissen über die Hermite-Interpolation ist diese Restriktion eindeutig bestimmt. Ihre eindeutig bestimmbare Ableitung in determiniert dann usw. Teilaufgabe a Es ergibt sich für die Restriktion R0: Nun soll gelten: Somit ist u1 eindeutig aus den Angaben berechenbar. Allgemein erhält man j>2 Umgestellt wird das zu Was uns auf ein offensichtlich reguläres LGS führt: Mit den so bestimmten u kann man dann die Restriktionen angeben: Teilaufgabe b Nun gibt man anstatt einer Ableitung den Wunsch nach Periodiziät vor. D.h. es soll gelten Wieder stellt man die Hermiteform auf, dabei kürzen wir wieder analog ab: Nun soll gelten: Das ergibt dann eine Matrix, deren Diagonalelemente alle 1 sind und auch die erste (obere) Nebendiagonale ist mit Einsen gefüllt. Ferner ist Diese Matrix ist regulär. Allerdings ist diese Matrix singulär: Somit folgt mit allgemeiner Entwicklung nach Laplace. Entwickelt man nach der ersten Spalte, so sind die neuen Determinantenmatrizen obere und untere Dreiecksmatrizen mit det 1. Entscheidend sind also die Vorfaktoren: |
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30.01.2009, 23:59 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
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