extremwertaufgaben

05.01.2009, 11:12

enmi

extremwertaufgaben

hallo,

habe 4. extremwertaufgaben bei denen ich nicht wirklich weiterkomme:

1.)
durch den punkt P(2/4) soll eine gerade gelegt werden, dass das von der geraden und den beiden achsen gebildete dreieck minimalen flächeninhalt hat. wie lautet die geradengleichung?

ansatz zu 1.)
$\begin{eqnarray*} A=\frac{x\cdot y}{2} \end{eqnarray*}$ (hauptbedingung)
$\begin{eqnarray*} y=k\cdot x+d \end{eqnarray*}$ (nebenbedingung)
Extremwerte findet man bei der 1. ableitung der funktion. wie kann die hauptbedingung abgeleitet werden (es gibt doch zu viele variablen)

2.)
ein acker liegt an einer geradlinigen straße. ein fußgänger befindet sich auf dem acker im punkt A und möchte schnell zu einem punkt B auf der straße gelangen. der fußpunkt C des lotes von A auf die Straße hat von A die Entfernung 400m und von B 100m. auf der straße kann sich der fußgänger doppelt so schnell fortbewegen wie auf dem acker. welchen weg soll er einschlagen.

ansatz zu 2.)
ACB bezeichnen ein rechtwinkliges dreieck mit den katheten AC=400m und CB=100m
die zeit um von A nach C zu kommen beträgt 400 ZE (zeiteinheiten) und die zeit um von C nach B zu kommen beträgt 50 ZE (zeiteinheiten). insgesamt braucht der fußgänger für die strecke von A nach C und von C nach B 450 ZE
die strecke AB = 412,31m
da sich die strecke AB auf dem acker befinden muss (denke ich mal) benötigt der fußgänger 412,31 ZE (also ist er über den acker schneller - oder?)

3.)
es soll eine zylindrische, oben offene dose vom volumen 1000cm³ hergestellt werden. die herstellungskosten für den boden betragen 0,05€/cm² für die wand 0,03€/cm². welche maße muss die dose haben, damit die herstellungskosten minimals sind?

ansatz zu 3.)
$\begin{eqnarray*} O=G+M \end{eqnarray*}$ (hauptbedingung)
$\begin{eqnarray*} O=r²\pi + 2r\pi h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O=r²\pi\cdot 0,05+2r\pi h\cdot 0,03 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=r²\pi \cdot h \end{eqnarray*}$ (nebenbedingung)
$\begin{eqnarray*} 1000=r²\pi \cdot h \end{eqnarray*}$

aus der nebenbedingung folgt:
$\begin{eqnarray*} h=\frac{1000}{r²\pi } \end{eqnarray*}$

jetzt wird h in die hauptbedingung eingesetzt und vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} O=r²\pi \cdot \frac{1000}{r² \pi}\cdot 0,05 + 2r\pi \cdot \frac{1000}{r² \pi} \cdot 0,03 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O=50+\frac{60}{r} \end{eqnarray*}$

Extremwerte findet man bei der 1. ableitung der funktion. aber auch hier bin ich mir nicht sicher wie ich weitermachen muss (und ob ich überhaupt bis jetzt richtig gerechnet habe)

4.)
eine speiseglocke habe die form einer halbkugel mit dem radius r=3dm.
welche maße hat das volumsgrößte gefäß welches unter diese glocke passt?

ansatz zu 4.)
$\begin{eqnarray*} V=\frac{4}{6} \cdot \pi r³ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V=\frac{4}{6} \cdot \pi 3³ \end{eqnarray*}$

das volumsgrößte gefäß wird wahrscheinlich ein zylinder sein (nehme ich mal an...)
die volumsformel für den zylinder ist klar aber wie mache ich dann weiter

besten dank erstmal für jede rückmeldung
sg
enmi

05.01.2009, 11:25

Astor

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