Gauss-Quadratur |
05.01.2009, 13:14 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Gauss-Quadratur Nun habe ich den leichtsinnigen Weg in ein konkretes Beispiel gewagt... und schwups, ist es da. Das Problem. In meinen Büchern gleichen sich zu berechnenden Integrale und Skalaprodukte dahingehend, dass sie über die gleichen Integrationsgrenzen verfügen... Theorie Dabei bezeichnet gamma die Gewichtsfunktion. Bzgl. dieses Skalarprodukts orthogonalisert man dann die Monombasis 1,x,x²,... der gewünschten Länge z.B. über Gram-Schmidt oder verwendet das Verfahren von Golub Welsch. Dabei war das Ziel, folgendes zu berechnen: Und man erhielt die Gewichte, indem man statt f das IP durch die Knoten integrierte (Lagrange-Darstellung) Und die Quadraturformal lautete dann: Problem: Nun weichen aber a und b beim Skalarprodukt und dem zu berechnenden Integral ab. Die Gewichtsfunktion lautet also: Gesucht ist nun aber das uneigentliche Integral (*) Damit wäre dann Man soll nun (*) mittels Gauss-Quadratur für n=2 (Knoten) approximieren. Die Knoten sind dann die Nullstellen der Polynome, aber wie lauten hier die Gewichte? |
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05.01.2009, 17:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Gauss-Quadratur Also ich habe nun mal Golub Welsh durchgerechnet, das liefert: Also die gleichen Polynome wie bei GramSchmidt. Über die EW und EV der Matrix bekomme ich dann die Knoten was auch die Nullstellen von q2 sind. Somit sind auch hier beide Verfahren gleich. Die Gewichte ergeben sich gerundet mit GW zu In der Summe macht das 3/2, was auch mit der Theorie konform geht (Integration von q0 muss exakt sein). Geht man nun über die Lagrange-Polynome, so ergeben sich, wenn man über [0,1] integriert, die gleichen Werte. Wie soll man nun aber das uneigentliche Integral approximieren? Wie ist es generell, also wenn es ein bestimmtes Integral wäre? Würde man auf [0,1] die Knoten/Gewichte bestimmen und dann eine Koordinatentransformation machen? |
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05.01.2009, 19:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Gauss-Quadratur Ich habe die Transformationsidee mal verfolgt. Da man das uneingentliche Integral ja eigentlich mit Granzwert schreiben müßte, dachte ich man verschiebt die obere Grenze b "langsam" gegen unendlich. Das hat bei mir aber nur die Folge, dass der Wert der Quadraturformel gegen 0 geht.... Würde es nicht auch mehr Sinn machen, wenn man nun an dem Integral interessiert ist, eine andere Gewichtsfunktion zu nehmen? Oder der Schlüssel liegt in der umgekehrten Transformation...
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05.01.2009, 23:45 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich hab das nun mal mit der anderen Substitution versucht. Kann das mal jemand nachrechnen?
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