"Händisches" Ableiten der Wurzelfunktion

05.01.2009, 14:03

Andreas Walther

"Händisches" Ableiten der Wurzelfunktion

Hallo!
Ich habe ein Problem beim durchrechnen der Ableitung der Wurzelfunktion.
Ich möchte eigentlich folgende Formel verwenden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac { (f(x + h) ) - f(x)} { h } \end{eqnarray*}$

Mit Werten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac { (f(\sqrt { x + h } ) - f(\sqrt { x })} { h } \end{eqnarray*}$

Ich bekomme das irgendwie nicht aufgelöst, ab hier hängts:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac { (x + h)^{\frac {1} {2} } - x^{\frac {1} {2} }} { h } \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn die Klammer mit $\begin{eqnarray*} ^ {\frac {1} {2}} \end{eqnarray*}$ auflösen? Das ist mir schon ein Rätsel :/

Also das Endergebnis mit $\begin{eqnarray*} \frac {1} {2 * \sqrt {x}} \end{eqnarray*}$ kenne ich.

Vielen Dank für Hilfe smile

05.01.2009, 14:11

tmo

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Erweitere mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .

05.01.2009, 14:58

Andreas Walther

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Hm, das bringt mich irgendwie auch nicht weiter.

Wenn ich nun folgendes habe:

$\begin{eqnarray*} \frac { (\sqrt {x+h} - x) *( \sqrt {x+h} + x )} {h * (\sqrt {x+h} + x)} \end{eqnarray*}$

Komme ich selbst durch verschiedene Multiplikationsversuche der Klammern auf kein sinnvolles Ergebnis - mag das jemand mal verständlich vorrechnen?
Mein Mathebuch geht leider auch den Schritt der Erweiterung, allerdings ist die ganze Berechnung nur 3 Schritte und damit so grob, dass ich sie kein Stück nachvollziehen kann. Ausserdem wird die andere Formel benutzt:

$\begin{eqnarray*} \frac {f(x) - (fx0)} {x - x0} \end{eqnarray*}$

Und die mit dem "h" ist mir doch deutlich lieber.

05.01.2009, 15:00

tigerbine

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Zitat:

Original von Andreas Walther
mag das jemand mal verständlich vorrechnen?

Magst du dich vielleicht mal an die dritte binomische Formel erinnern?

05.01.2009, 15:21

Andreas Walther

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Hm ja, das ist ein Ansatz smile

Gut dann bin ich hier angekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac {(x+h) - (x^{2})} { h * (\sqrt{x+h} + x) } \end{eqnarray*}$

Daraus mache ich:

$\begin{eqnarray*} \frac {h - x} { h * (\sqrt{x+h} + x) } \end{eqnarray*}$

Klammer auflösen?

$\begin{eqnarray*} \frac {h - x} { h * \sqrt{x+h} + h*x) } \end{eqnarray*}$

Jetzt hängt es leider wieder .. ich sehe immernoch keine $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 * \sqrt{x} } \end{eqnarray*}$ in der Nähe unglücklich

Hm .. ich habe es leider nicht sonderlich drauf in Mathe unglücklich

05.01.2009, 15:26

Romaxx

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Schau mal den Post von tmo an.

Nun vergleiche mit dem, was du gemacht hast.

05.01.2009, 15:38

Andreas Walther

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Ah ... das hab ich übersehen Hammer

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac {(\sqrt {x+h } - \sqrt {x}) * (\sqrt {x+h } + \sqrt {x})} {h * ( \sqrt {x+h } + \sqrt {x} )} \end{eqnarray*}$

3. Binomische Formel auflösen =>

$\begin{eqnarray*} \frac {x+h - x} {h * ( \sqrt {x+h } + \sqrt {x} )} \end{eqnarray*}$

Subtrahieren =>

$\begin{eqnarray*} \frac {h} {h * ( \sqrt {x+h } + \sqrt {x} )} \end{eqnarray*}$

Kürzen =>

$\begin{eqnarray*} \frac {1} {1 * ( \sqrt {x+h } + \sqrt {x} )} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \frac {1} { \sqrt {x+h } + \sqrt {x} } \end{eqnarray*}$

So und nun h gegen 0 gehen lassen addieren
=>
$\begin{eqnarray*} \frac {1} { \sqrt {x } + \sqrt {x} } \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} \frac {1} { 2* \sqrt {x} } \end{eqnarray*}$

05.01.2009, 15:39

tigerbine

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Was ja auch besser ist. Da h gegen 0 geht... geschockt

05.01.2009, 15:41

Andreas Walther

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Ja mir fiel es auch gerade auf und war schon beim editieren während deines Posts!

So vielen Dank allen für diese schwere Geburt Augenzwinkern

05.01.2009, 16:14

Andreas Walther

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Nochmal eine zusätzliche Frage:
Die Begründung dafür, dass die Wurzelfunktion (bei 0) nicht differenzierbar ist, ist das sie bei 0 im Nenner ja kein gültiger Ausdruck ist, oder?

Weil beispielsweise bei der Betragsfunktion konnte man diese Überprüfung durch jeweiliges abwechselndes nähern von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ machen, sprich der Grenzwert war wechselnd $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ (ebenfalls im Punkt 0 ).

Somit ist wohl das nähern von h an 0 keine eindeutige herangehensweise für die Bestimmung auf Differenzierbarkeit?

Danke, Andreas

05.01.2009, 16:27

mYthos

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Die Ableitungsfunktion (Steigung der Tangenten) hat an der Stelle 0 eine Polstelle, deswegen bringt (zum Unterschied bei der Betragsfunktion) auch der rechts- bzw. linksseitige Grenzwert keinen endlichen Wert.

mY+

05.01.2009, 17:12

tmo

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Zitat:

Original von Andreas Walther
Die Begründung dafür, dass die Wurzelfunktion (bei 0) nicht differenzierbar ist, ist das sie bei 0 im Nenner ja kein gültiger Ausdruck ist, oder?

Die Begründung dafür, dass eine Funktion an irgendeiner Stelle nicht differenzierbar ist, ist immer die, dass der Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle nicht existiert.

In diesem Fall existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0} \end{eqnarray*}$ nicht, wie man leicht einsieht.

05.01.2009, 19:15

Andreas Walther

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Ah, also ich versuche das mal für mich wörtlich umzusetzen.

Ich kann grundsätzlich von jeder ("gewöhnlichen") Funktion die Ableitung bilden, allerdings muss ich überprüfen, ob sie in jedem Punkt differenzierbar ist.

Praktisch ist das wohl kaum möglich per Zettel und Hand, also konzentriere ich mich in der Prüfung auf die Punkte die mir entweder markant erscheinen oder vorgegeben werden.

Vorgehen:

Ich mache die Ableitung (z.b. durch die einzelnen Ableitungsregeln) und um auf die Differenzierbarkeit zu prüfen setze ich den Wert für x0 in die Formel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{f(x) - f(x0)}{x - x0} \end{eqnarray*}$ ein und schaue ob ich einen (endlichen) Grenzwert bilden kann, der auf beiden Seiten gleich ist. (Ich setze abwechselnd kleine wert für f(x) ein z.b. 0,1/-0,1 ... )
Somit ist eine Funktion nicht differenzierbar wenn $\begin{eqnarray*} + - \infty \end{eqnarray*}$ oder ein unterschiedlicher Grenzwert herauskommt.

Bei der Wurzelfunktion wäre also die Begründung, dass der rechtsseitige Grenzwert + unendlich ist? (und damit die Steigung "unendlich" bzw da +- unendlich ja keine echten Grenzwerte sind sondern "bestimmt divergieren" wenn ich mich recht entsinne)

Hierzu allerdings noch eine Frage:

Wenn ich so vorgehe:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} \frac{f(x) - f(x0)}{x - x0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt(x)}{x} \end{eqnarray*}$
Dann bekomme ich hier nicht die richtige Lösung, es würde praktisch $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ werden

Erweitere ich jedoch mit $\begin{eqnarray*} \sqrt {x} \end{eqnarray*}$ zu;
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt(x) * \sqrt(x)}{x * \sqrt(x)} \end{eqnarray*}$
komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt(x)} \end{eqnarray*}$ und es geht Richtung $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich nun wissen, wann ich aufhören kann mit dem kürzen etc? Ich hätte jetzt bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt(x)}{x} \end{eqnarray*}$ aufgehört .. :/

Vielen Dank.

05.01.2009, 21:05

mYthos

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Die beiden Limiten gehen beide eindeutig gegen $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ ! (Im obigen Graphen ist das die grüne Kurve). Wieso du oben ein negatives Unendlich erhalten hast, ist ein Rätsel, denn auch die beiden Terme (gekürzt und ungekürzt) sind identisch.
Und bei der Wurzelfunktion kannst du zu 0 sowieso nur von rechts kommen, weil im Reellen der Radikand nicht negativ sein kann.

mY+

05.01.2009, 21:19

Andreas Walther

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Du hast natürlich Recht mYthos - ich hab unsinn im Kopf gerechnet.

Ich hatte das $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt(x)}{x} \end{eqnarray*}$ im Kopf überschlagen und angenommen, dass auch bei Werten < 1 die Wurzel kleiner als der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Wert ist. Mein Rechner hat das jetzt als falsch herausgestellt, womit es ebenfalls Richtung $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ ! hmpf..

Sind denn meine obigen Annahmen richtig? (Vielleicht nicht mathematisch 100% ausgedrückt - aber ohne tiefe Denkfehler)

Wie gehe ich denn nun an eine längere Funktion ran, wenn ich sie auf Differenzierbarkeit überprüfen will?
Nehme ich jedes Segment einzeln und überprüfe auf Differenzierbarkeit, und sobald alle Teile differenzierbar sind stütze ich mich auf die Regeln, dass Additionen, Multiplikationen etc die Differenzierbarkeit übertragen, sofern alle Teile differenzierbar sind?
Und kann ich daraus folgern, dass eine Funktion die beispielsweise einen Betrag oder eine Wurzel enthält und deren Definitionsbereich 0 einbezieht auf jeden Fall nicht diffbar ist?

Vielen Dank und Gruß,
Andreas!

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