Problem bei Aufgabe mit Satz von Bayes

05.01.2009, 20:16

AlphaCentauri

Problem bei Aufgabe mit Satz von Bayes

Hi,

ich hab folgende Aufgabe gegeben:

"Mit einem Lügendetektor werden des Diebstahls verdächtigte Personen überprüft. Der Detektor schlägt durch ein rotes Lichtsignal an oder entwarnt durch ein grünes Lichtsignal. Er ist zudem $\begin{eqnarray*} 90% \end{eqnarray*}$ zuverlässig, wenn die überprüfte Person tatsächlich schuldig ist, und er ist zu $\begin{eqnarray*} 99% \end{eqnarray*}$ zuverlässig, wenn die Person unschuldig ist.
Aus einer Gruppe von Personen, von denen $\begin{eqnarray*} 5% \end{eqnarray*}$ einen Diebstahl begangen haben, wird eine Person überprüft. Der Detektor gibt ein rotes Signal. Mit welcher Warscheinlichkeit ist die Person dennoch unschuldig?"

Ich hab mir jetz überlegt, dass ich hier am besten mit dem Satz von Bayes rangehe, da die beiden Ergebnisse Schuldig/Unschuldig und Signal/kein Signal ja abhängig sind!
Erste Frage: Stimmt meine Vermutung?

Ich schreib am besten mal meinen bisherigen Lösungsweg auf, um dann zu meinem Problem zu kommen:
Bezeichnung:
$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ : "die Person ist schuldig"
$\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ : "der Detektor schlägt an (leuchtet rot)"
$\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ : Gegenereignis zu S
$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ : Gegenereignis zu T

aus dem Text folgt:
$\begin{eqnarray*} P(T|S)=0,9 ; P(T|s)=0,99 ; P(S)=0,05 ; P(s)=0,95 \end{eqnarray*}$

Soweit ist das kein Problem, aber wenn ich jetz in die Formel von Bayes einsetzen will, weiß ich nich, was ich denn eigentlich berechnen soll!?
Also ich denke, dass ich $\begin{eqnarray*} P(s|T) \end{eqnarray*}$ berechnen soll, was dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} P(s|T)=\frac{P(s)\cdot P(T|s)}{P(T)} \end{eqnarray*}$
Stimmt meine Überlegung jetz? Bitte um Hilfe!

Danke im Voraus

05.01.2009, 22:02

NatürlicheZahl

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Zitat:

[..]Der Detektor gibt ein rotes Signal. Mit welcher Warscheinlichkeit ist die Person dennoch unschuldig?[..]

Zitat:

[..] $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ : "die Person ist schuldig" $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ : "der Detektor schlägt an (leuchtet rot)"[..]

Zitat:

[..]aus dem Text folgt: $\begin{eqnarray*} P(T|S)=0,9 ; P(T|s)=0,99 ; P(S)=0,05 ; P(s)=0,95 \end{eqnarray*}$ [..]

Ich glaube du bringst hier einige Sachen ein wenig durcheinander.

Gesucht ist doch die Wahrscheinlichkeit (gemäß deiner Deklaration) P(T|s) ("Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine Person unschuldig unter der Bedingung, dass der Detektor anschlägt")

Ansonsten ist deine Idee mit dem Satz von Bayes völlig richtig! Freude

06.01.2009, 13:28

AlphaCentauri

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ok, du hast wohl Recht! wenn ich mir das so anschaue sieht das ziemlich durcheinander aus!
Also ein neuer Versuch Augenzwinkern

!

Die Bezeichnungen bleiben erhalten.
gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(s|T) \end{eqnarray*}$
aus dem Text ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} P(S)=0,05 ; P(T|S)=0,9 ; P(t|s)=0,99 \end{eqnarray*}$
als Gegenwarscheinlichkeiten ergeben sich hieraus
$\begin{eqnarray*} P(s)=0,95 ; P(t|S)=0,1 ; P(T|s)=0,01 \end{eqnarray*}$
nach dem Satz von Bayes gilt:
$\begin{eqnarray*} P(s|T)=\frac{P(s) \cdot P(T|s)}{P(T)} \end{eqnarray*}$
nach dem Satz der totalen Warscheinlichkeit gilt für $\begin{eqnarray*} P(T) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(T)=P(S) \cdot P(T|S) + P(s) \cdot P(T|s) \end{eqnarray*}$
und damit dann
$\begin{eqnarray*} P(s|T)=\frac{P(s) \cdot P(T|s)}{P(S) \cdot P(T|S) + P(s) \cdot P(T|s)} \end{eqnarray*}$
setz man nun die Werte ein, dann erhält man $\begin{eqnarray*} P(s|T)=0,1743 \end{eqnarray*}$

Sind meine Überlegungen jetzt korrekt? Bitte um Überprüfung!

Danke im Vorraus

06.01.2009, 14:19

NatürlicheZahl

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Zitat:

Die Bezeichnungen bleiben erhalten. gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(s|T) \end{eqnarray*}$

Ich denke P(T|s) ist gesucht? Bitte lese dir meinen letzten Post nochmal durch Augenzwinkern

06.01.2009, 14:30

AlphaCentauri

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Na das dachte ich ja zuerst auch, aber beim erneuten Durchlesen kam ich dann auf P(s|T), denn es heißt ja:

Zitat:

Der Detektor gibt ein rotes Signal. Mit welcher Warscheinlichkeit ist die Person dennoch unschuldig

Also ist die Bedingung: rotes Signal und nun ist das davon abhängige Ereignis "nicht schuldig", also P(s|T) und nicht P(T|s)!

06.01.2009, 20:13

NatürlicheZahl

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Gut, ich bin da einer anderen Meinung. Big Laugh

Gefragt ist die Wkt., dass der Detektor ein rotes Signal gibt und die Person trotzdem unschuldig ist also:

"Wie groß ist die Wkt., dass eine Person unschuldig ist unter der Bedingung ,dass der Detektor ein rotes Signal gegeben hat."

$\begin{eqnarray*} \rightarrow P(T|s) \end{eqnarray*}$

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