Übungen zur Kurvendiskussion mit Parameter

03.09.2006, 20:27

7ennis

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Übungen zur Kurvendiskussion mit Parameter

Hallo Gemeinde Wink

Wink

,

ich hab mal wieder ein Problem bei Mathe und hoffe das ihr mir helfen könnt ;-). Ich verstehe überhaupt nicht, was ich machen soll und versage schon im ersten Punkt. Wahrscheinlich ises ganz einfach, mein Problem ist nur das ich Gleichungen nicht umstellen kann...

Naja zur Aufgabe also:

Gegeben sei die Funktionenschar fa(x)= $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2a²} x³+\frac{2}{a}x²-2x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a \in IR^{>0} \end{eqnarray*}$ . Ka sei die zugehörige Kurvenschar.

a)Diskutieren sie fa bzw Ka unter folgenden Aspekten
-Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
-3 Ableitungen (das sollte kein Problem für mich sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
-Extrempunkte

b) Zeigen sie fa: ( $\begin{eqnarray*} \frac{4a}{3} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} -\frac{8a}{27} \end{eqnarray*}$
Zeigen sie weiter, dass alle Tangenten an Ka durch Pa( $\begin{eqnarray*} \frac{4a}{3} \end{eqnarray*}$ )| $\begin{eqnarray*} -\frac{8a}{27} \end{eqnarray*}$ ) parallel verlaufen.

c) Zeigen Sie: fa und fb mit a $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ b, a + b $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0, haben genau 2 Schnittstellen.

d) Tangente und Normale im Punkt Pa (vgl. Teil b) begrenzen mit der y-Achse ein Dreieck. Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: A= $\begin{eqnarray*} \frac{52a²}{27} \end{eqnarray*}$ FE. Für welches a beträgt der Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} \frac{13}{3} \end{eqnarray*}$ ?

Also bei allen Aufgaben versteh ich nur Bahnhof verwirrt

verwirrt

. Auch wenn ihrs nicht glaubt bisher hatte ich in Mathe ne 1( war in Klasse 11). Bin immoment in Klasse 12 und kapiere null. Bin echt am verzweifeln.

Bitte Helft mir !!

Vielen vielen dank!

Grüße Dennis

03.09.2006, 20:38

zt

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Behandle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wie eine Konstante.
zu den Nullstellen: Klammere erstmal $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus. Dann hast du deine erste Nullstelle. Die möglichen 2 anderen Nullstellen bestimmst du mit der $\begin{eqnarray*} pq \end{eqnarray*}$ -Formel. Edit: Es sind 2 Nullstellen ges.
zu den Extrema: dann mach' doch erstmal die 3 Ableitungen und zeig sie hier. Dann kann man auch die Extrema hier besprechen.

03.09.2006, 20:42

7ennis

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Also Nullstellen hab ich bis hierhin probiert. X habe ich auch ausgeklammert nur komme ich danach nicht weiter.

also. ausgeklammert: f(x) = x(- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2a²} \end{eqnarray*}$ x²+ $\begin{eqnarray*} \frac{2}{a} \end{eqnarray*}$ x-2).
Danach x=0 oder - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2a²} \end{eqnarray*}$ x²+ $\begin{eqnarray*} \frac{2}{a} \end{eqnarray*}$ x-2 .

Danach wusste ich shcon nicht mehr weiter mit dem Umformen...

Ableitungen habe ich wiefolgt gemacht:

f'(x) = - $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2a²} \end{eqnarray*}$ x² + $\begin{eqnarray*} \frac{4}{a} \end{eqnarray*}$ x - 2

f''(x) = - $\begin{eqnarray*} \frac{6}{2a²} \end{eqnarray*}$ x + $\begin{eqnarray*} \frac{4}{a} \end{eqnarray*}$

f'''(x)= - $\begin{eqnarray*} \frac{6}{2a²} \end{eqnarray*}$

03.09.2006, 20:49

zt

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# edit: blödsinn
# edit: doch kein Blödsinn..

Genau,

jetzt setzt du den inneren Teil der Klammer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .
Also:

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{1}{2\cdot a^{2}}\cdot x^{2}+\frac{2}{a}\cdot x-2 \end{eqnarray*}$ .

Damit du die $\begin{eqnarray*} pq \end{eqnarray*}$ -Formel anwenden kannst, teilst du die Gleichung erstmal durch $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2\cdot a^{2}} \end{eqnarray*}$ , oder anderes ausgedrückt: du multiplizierst mit dem Kehrwert $\begin{eqnarray*} -2\cdot a^{2} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommst du mit $\begin{eqnarray*} x_0=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q} \end{eqnarray*}$ an deine Lösung.

03.09.2006, 20:54

7ennis

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Wenn ich mit -2a² multipliziert habe. Richtig das ich dann zu x²+ $\begin{eqnarray*} \frac{2}{-2a³} \end{eqnarray*}$ x + 4a² komme ?

03.09.2006, 21:00

zt

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Zitat:

Original von 7ennis
Wenn ich mit -2a² multipliziert habe. Richtig das ich dann zu x²+ $\begin{eqnarray*} \frac{2}{-2a³} \end{eqnarray*}$ x + 4a² komme ?

Ne, eigentlich.. $\begin{eqnarray*} 0 = x^{2}-4\cdot a\cdot x+4\cdot a^{2} \end{eqnarray*}$

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03.09.2006, 21:02

7ennis

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Also sind meine Nullstellen x=2a und x=0 soweit richtig?

Oh gott mein Ansatz war ja vollkommen falsch Gott

Gott

03.09.2006, 21:06

zt

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Ja, das stimmt. Freude

Freude

Die Ableitungen sind aber noch falsch. Vergiss nicht $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als Konstante zu behandeln.

03.09.2006, 21:11

7ennis

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f ' (x) = - $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2a²} \end{eqnarray*}$ x² + $\begin{eqnarray*} \frac{4}{a} \end{eqnarray*}$ x -2

Ist die richtig?

03.09.2006, 21:12

zt

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Stimmt. Und jetzt noch die letzten 2 Ableitungen korrigieren.
Edit: Dann sollten die Extrema auch kein Problem mehr darstellen.

03.09.2006, 21:17

7ennis

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So hab sie oben korrigiert. Guckst du mal bitte nach ?

So für die Extremstellen, muss man f ' (x)= 0. Man muss ja durch - 3 / 2a² teilen. Allerdings weiß ich überhaupt nich wie ich das machen soll... Kannst du mir da vielleicht helfen? Eben hab ichs auch nich verstanden...

03.09.2006, 21:20

zt

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Zitat:

Original von 7ennis
Ableitungen habe ich wiefolgt gemacht:

f'(x) = - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6a²} \end{eqnarray*}$ x² + $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2a} \end{eqnarray*}$ x - 2

f''(x) = - $\begin{eqnarray*} \frac{6}{2a²} \end{eqnarray*}$ x + $\begin{eqnarray*} \frac{4}{a} \end{eqnarray*}$

f'''(x)= - $\begin{eqnarray*} \frac{6}{2a²} \end{eqnarray*}$

Meinst du die? verwirrt

verwirrt

03.09.2006, 21:22

7ennis

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Ne die 1. habe ich in meinem Post weiter unten Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Hab nur die 2. und 3. Ableitung dort editiert sorry.

Edit: hab die 1. auch angepasst

03.09.2006, 21:34

zt

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Etwas unüberschaubar, aber okay. Hier nochmal die 3 Ableitungen die du bestimmt hast. (Ich war etwas irritiert, weil du $\begin{eqnarray*} \frac{6}{2} \end{eqnarray*}$ nicht gekürzt hast.)

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = - \frac{3}{2a²}\cdot x^{2} + \frac{4}{a}\cdot x -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{3}{a^{2}}\cdot x+\frac{4}{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-\frac{3}{a^{2}} \end{eqnarray*}$

Für deine Hoch- und Tiefpunkte setzt du einfach die 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Also $\begin{eqnarray*} 0 = - \frac{3}{2a²}\cdot x^{2} + \frac{4}{a}\cdot x -2 \end{eqnarray*}$ .

Offensichtlich ist das 'ne Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} 0 = a\cdot x^{2} + b \cdot x + c \end{eqnarray*}$ . Um die Nullstellen mittels $\begin{eqnarray*} pq \end{eqnarray*}$ -Formel berechnen zu können, musst die Gleichung auf die Form $\begin{eqnarray*} 0 = x^{2}+p\cdot x + q \end{eqnarray*}$ bringen, also das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus obiger Gleichung eliminieren, indem du die Gl. durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ teilst.

03.09.2006, 21:38

7ennis

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Danke nochmal für deine ganze Arbeit!

Ich weiß das ich durch a teilen muss. Nur weiß ich nicht wie ich das in der 1. Ableitung machen kann. Ich kann solche sachen überhaupt nicht unglücklich

unglücklich

. Deswegen hatte ich oben gefragt ob du mir dabei helfen könntest, weil ich das bei f(x) = 0 schon nicht nachvollziehen konnte.
Lehrer

Lehrer

03.09.2006, 21:45

zt

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Verstehst du das so, oder soll ich das Beispiel mit den Nullstellen oben nochmal bringen?

$\begin{eqnarray*} 0 = a\cdot x^{2} + b \cdot x + c \quad | :a\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{a}{a}\cdot x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} = x^{2} + \frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = x^{2} + p \cdot x + q \end{eqnarray*}$

03.09.2006, 21:51

7ennis

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Das versteh ich ^^. Ich hab nur ein Problem damit, wie ich durch - 3 / 2a² teile.
Habs jetzt einfach mal probiert:

f'(x) = x² - $\begin{eqnarray*} \frac{8a²}{3a} \end{eqnarray*}$ x + $\begin{eqnarray*} \frac{4a²}{3} \end{eqnarray*}$

So richtig :$?

03.09.2006, 21:56

zt

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Das ist richtig (mit dem Kehrwert multipliziert). Wobei das nur für $\begin{eqnarray*} f'(x)=0=... \end{eqnarray*}$ gilt und $\begin{eqnarray*} \frac{a^{2}}{a} \end{eqnarray*}$ darfst du auch noch kürzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.09.2006, 22:06

7ennis

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Alles klar danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

also hab ich dann mit der pq-formel:
x1/2= $\begin{eqnarray*} \frac{16a}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{244a²}{9}} \end{eqnarray*}$ ???
Wie nehme ich die wurzel davon?
Ist es dann einfach x1= 16a/3 + 244/3 ? x2= ...

03.09.2006, 22:25

zt

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$\begin{eqnarray*} j = (-1)^{2}\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3}\cdot a=\frac{8}{6}\cdot a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = j \pm \sqrt{j^{2}-q}=\frac{8}{6}\cdot a\ \pm\ \sqrt{\frac{64}{36}\cdot a^{2}-\frac{48}{36}\cdot a^{2}}=\frac{8}{6}\cdot a\ \pm\ \sqrt{\frac{16}{36}\cdot a^{2}}=\frac{8}{6}\cdot a\ \pm\ \frac{4}{6}\cdot a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1=\frac{2}{3}\cdot a\qquad x_2=2\cdot a \end{eqnarray*}$

Alles klar?

03.09.2006, 22:36

7ennis

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Ja vielen dank Freude

Freude

. Jetzt muss ich die Nullstellen von f'(x) in f''(x) einsetzen oder? Also um rauszufinden ob es ein TP oder HP ist. Danach muss ich die Nullstellen von f'(x) in f(x) einsetzen um die Y-Werte zu erhalten. Richtig?

03.09.2006, 22:41

zt

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Genau.

03.09.2006, 23:06

7ennis

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Alles klar, das werde ich hinbekommen. Ist auch ziemlich spät für die restlichen aufgaben. entweder schaff ich das noch oder halt nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
auf jeden fall vielen vielen dank !!

gruß dennis

03.09.2006, 23:09

zt

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man fängt ja auch mit seinen Hausaufgaben nicht erst am letzten Tag an. Big Laugh

Big Laugh

03.09.2006, 23:38

7ennis

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Ja kam was dazwischen Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Hab gestern meinen neuen PC geliefert bekommen und der lläuft bis jetzt noch nicht ... Daran saß ich die ganze zeit hehe. Also keine Lust auf Mathe Prost

Prost

Augenzwinkern

danke nochma

19.10.2006, 19:29

1988

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ich habe da mal eine frage: wie komme ich von $\begin{eqnarray*} -x^{2}+2= tx^{2}-1 auf x^{2} = \frac{3}{t+1} \end{eqnarray*}$

19.10.2006, 19:53

maulwurf

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du bringst alles mit x² auf die eine seite und alles ohne auf die andere.
dann kannst du an einer seite x² ausklammern und durch den anderen faktor teilen.

19.10.2006, 20:26

1988

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dankeschön Freude

Freude

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