ableitung von f(x)=x+1 mithilfe der quotienten - Seite 2

06.01.2009, 00:16

Highshine

hä? was hast du denn da gemacht? jetzt verstehe ich garnichts mehr.

06.01.2009, 00:18

Jacques

Ich hatte mich vorhin vertippt, jetzt stimmt es.

Also

$\begin{eqnarray*} -(x_0 + 1) = -x_0 - 1 \end{eqnarray*}$

Dann lautet der gesamte Zähler

$\begin{eqnarray*} x + 1 - x_0 - 1 = x - x_0 \end{eqnarray*}$

Den Rest schaffst Du selbst. smile

06.01.2009, 00:20

Highshine

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nein schaffe ich nicht,ich verstehe garnicht,was du da machst...

06.01.2009, 00:22

Jacques

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:-(

Ich habe einfach nur die Klammer bei dem Term

$\begin{eqnarray*} x + 1 - (x_0 + 1) \end{eqnarray*}$

aufgelöst. Das solltest Du eigentlich nachvollziehen können.

Du hast falsch aufgelöst zu

x + 1 + x0 - 1

Meine Korrektur:

x + 1 - x0 - 1

06.01.2009, 00:23

Highshine

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und was soll jetzt das ende sein?

06.01.2009, 00:25

Jacques

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Sind denn die bisherigen Umformungen alle klar? Wenn ja, dann schreibe bitte den kompletten Ausdruck hin (mit lim und allem) und versuche selbst weiterzukommen.

06.01.2009, 00:26

Highshine

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meiner meinung nach kommt da nul raus

x-x0 / x-x0

06.01.2009, 00:28

Jacques

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Was passiert denn, wenn man eine Zahl durch sich selbst teilt? Ergibt z. B. 4/4 tatsächlich 0?

Und vergiss nicht, dass Du es mit einem Grenzwert zu tun hast. Du darfst also, wenn es um das Endergebnis geht, das „lim“ vor dem Bruch nicht vergessen.

06.01.2009, 00:29

Highshine

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aber wenn x-> x0 strebt sind x0-x0 nicht = 0?

06.01.2009, 00:32

Jacques

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Ja, aus diesem Grund kannst Du auch erstmal noch nicht den Grenzwert bilden, denn Du würdest dann eine Division durch 0 bekommen (die ja nicht definiert ist).

Vereinfache zuerst den Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{x - x_0}{x - x_0} = \ ? \end{eqnarray*}$

06.01.2009, 00:34

Highshine

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ich weiß es nicht und kann icht mehr jetzt. ich gehe jetzt schlafen.vielen dank für deine hilfe. ich melde mich morgen wieder

LG

gute nacht

06.01.2009, 00:37

Jacques

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OK, gute Nacht. Wink

Also wenn es einfach nur ein Konzentrationsproblem ist, dann wirst Du morgen sicherlich selbst schnell auf die Lösung kommen. Andernfalls solltest Du unbedingt die elementaren Rechenregeln wiederholen, denn damit hast Du dann große Schwierigkeiten.

06.01.2009, 12:49

Highshine

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so ich bin wieder da.
(:
mhm,vielleicht das x ausklammern?

06.01.2009, 12:54

Jacques

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Hi,

Zitat:

Original von Highshine

mhm,vielleicht das x ausklammern?

Nein, wie sollte das gehen? Es ist viel einfacher: Was ergibt denn z. B. 4/4?

06.01.2009, 12:57

Highshine

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na 1
aber was bringt mir das?

06.01.2009, 12:58

Jacques

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Und was ergibt allgemein a/a, wenn a eine reelle Zahl (nicht 0) ist?

Wenn Du diese Frage beantwortet hast, weißt Du auch, wie man

$\begin{eqnarray*} \frac{x - x_0}{x - x_0} \end{eqnarray*}$

vereinfachen kann

06.01.2009, 13:01

Highshine

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auch 1

also kommt da jetzt 1 raus?

06.01.2009, 13:10

Jacques

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Zitat:

Original von Highshine

auch 1

Das war schon alles!

Aber ich gebe Dir nochmal den Ratschlag: Wiederhole die Rechengesetze! Das gerade war noch eine sehr übersichtliche Aufgabe. Sobald Du mit komplexeren Termen arbeiten musst, wirst Du scheitern, wenn Du unsicher beim Umformen bist. Das ist nicht böse gemeint.

Zitat:

Original von Highshine

also kommt da jetzt 1 raus?

Bei dem Grenzwert, meinst Du?

06.01.2009, 13:15

Highshine

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okay,werde ich machen.
ja ich meine den grenzwert mit 1.

06.01.2009, 13:41

Jacques

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Zitat:

Original von Highshine

ja ich meine den grenzwert mit 1.

Korrekt.

Ihr habt sicherlich vorher die Ableitung der Funktion f(x) = x ermittelt, oder? Welche (geometrische) Feststellung kannst Du machen, wenn Du Dein aktuelles Ergebnis für die Funktion g(x) = x + 1 betrachtest? (Der konstante Summand sorgt ja für eine Verschiebung des Graphen)

06.01.2009, 13:46

Highshine

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ne haben wir nicht ermittelt.
ich habe auch schwierigkeiten mit diser aufgaabenart.
wir haben nur bei x^2 uns x^3 die steigung berechnet und auch mal mit der h-methode. aber eine ableitung damit gemacht haben wir nicht.

06.01.2009, 13:52

Jacques

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Komisch -- also habt Ihr vorher noch niemals eine Ableitung berechnet?

Normalerweise würde man bei f(x) = x oder so anfangen -- und Deine Aufgabe wäre dann dazu da, Folgendes festzustellen: Die Verschiebung des Graphen ändert (natürlich) nichts an den Ableitungen, auch die Ableitung von f(x) = x an einer beliebigen Stelle ist 1.

06.01.2009, 13:55

Highshine

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ne eine ableitung mit der quotientenformel haben wir noch nicht berechnet.
nur halt die steigung einer tangente der sekante. aber dies nur bei x^2 und x^3 mit und ohne h-methode.

naja ttzdem danke für deine hilfe.

ich habe noch eine frage zu einer anderen aufgabe,wenne s in ordung ist. f(x)=x^3-2x
ich soll die steigung der tangente im punkt P(2/4) berechnen. ich weiß qiw man das mit der h-methode macht. (haben wir schon) aber geht das auch ohne? wenn ja wie lautet dann denn mein zweiter punkt Q?

06.01.2009, 14:12

Jacques

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Du verwechselst, glaube ich, generell Sekanten- und Tangentensteigung.

Also eine Sekante ist eine Gerade durch zwei Punkte P(a,f(a)) und Q(b, f(b)) des Graphen. Die Steigung wird mit dem normalen Differenzenquotienten berechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \end{eqnarray*}$

Eine Tangente ist dagegen die Berührgerade in einem Punkt P des Graphen. Die Steigung erhält man -- salopp formuliert --, wenn man einen Punkt Q unendlich nahe an P heranrückt und dabei fortlaufend die Sekantensteigungen berechnet. Der Grenzwert dieser Sekantensteigungen ist dann die Tangentensteigung.

Mathematisch korrekt: Die Steigung der Tangente in einem Punkt P(a, f(a)) des Graphen ist der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \end{eqnarray*}$

Die „h-Methode“ ist nur eine andere Schreibweise dafür: Statt konkrete Punkte immer dichter an P heranrücken zu lassen kann man diese Punkte auch in Abhängigkeit von P angeben. Und zwar geht man um einen Wert h auf der x-Achse nach links bzw. rechts und betrachtet dann den entsprechenden Punkt auf dem Graphen. Die Grenzwertbildung wird jetzt dadurch realisiert, dass man h gegen 0 streben lässt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \end{eqnarray*}$

Also zu Deine Frage:

Zitat:

Original von Highshine

ich soll die steigung der tangente im punkt P(2/4) berechnen. ich weiß qiw man das mit der h-methode macht. (haben wir schon) aber geht das auch ohne? wenn ja wie lautet dann denn mein zweiter punkt Q?

Es gibt keinen zweiten Punkt Q, denn Du sollst nicht die Steigung der Geraden durch zwei Punkte berechnen, sondern die Tangentensteigung, also die Steigung in einem Punkt -- eben P.

06.01.2009, 14:18

Highshine

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gut,okay also kann ich diese aufgabe jetzt nur mit der h-methode ausrechnen?
danke,dass du dir soviel mühe gibst (:

06.01.2009, 14:34

Jacques

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Zitat:

Original von Highshine

gut,okay also kann ich diese aufgabe jetzt nur mit der h-methode ausrechnen?

Nein, es geht natürlich auch mit dem „klassischen“ Differenzenquotienten.

Man will die Steigung der Tangente in einem Punkt P(a, f(a)) an den Graphen einer Funktion f berechnen. Dafür konstruiert man eine „Hilfsfunktion“ d: Die Funktion ordnet einer variablen Stelle x die Steigung der Sekanten durch die Punkte P und Q(x, f(x)) zu. Also

$\begin{eqnarray*} d(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \end{eqnarray*}$

Um jetzt die Tangentensteigung zu bekommen, lässt man bei der obigen Funktion x gegen a streben -- das ist genau die rechnerische Umsetzung von dem, was ich oben geometrisch beschrieben habe: Man lässt einen Punkt Q unendlich nahe an P heranrücken und berechnet dabei fortlaufend die Sekantensteigungen -- der Grenzwert dieser Steigungen ist dann die Tangentensteigung.

Also

$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(a) = \lim_{x \to a} d(x) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \end{eqnarray*}$

Zugegeben, die Erklärung ist wahrscheinlich nicht so einfach zu verstehen -- aber das liegt vielleicht auch an der Komplexität des Themas. Du musst das Konzept verstehen, wie man die Steigung in einem Punkt durch eine Grenzwertbildung definiert. Und wie das geometrisch und rechnerisch abläuft.

06.01.2009, 14:38

Highshine

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mhm.
und wie soll ich das jetzt rechnen? also mit den zahlen?
weil wir haben so eine aufgabe noch nicht gemacht,nur mit der h-methode.

06.01.2009, 14:43

Jacques

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Ich habe Dir oben den allgemeinen Ablauf erklärt. Wenn Du alles verstanden hast, kannst Du das Schema auf die konkrete Aufgabe anwenden.

Sage ansonsten nochmal genau, was Dir unklar ist. Aber ich würde von Dir schon erwarten, dass Du Dir auch selbst ein paar Gedanken machst und nicht schon nach zwei, drei Minuten um die fertige Lösung bittest. ;-)

06.01.2009, 14:46

Highshine

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mhm.. ich denke mal nach.
könnte ich jetzt für f(a) und a die zahlen von dem punkt P einsetzen?

06.01.2009, 14:48

Jacques

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Ganz genau. Freude

Dann stelle schonmal die komplette Formel auf und forme so weit um wie es Dir möglich ist. :-)

06.01.2009, 14:50

Highshine

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aber ich weiß nicht was ich mit dem f(x) und dem x machen soll...

f(x)-4 / x-2

06.01.2009, 14:55

Jacques

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Das ist auch nicht die komplette Formel. Siehe nochmal oben nach: Man muss den Grenzwert einer Funktion berechnen, und x ist dabei die Variable, die man gegen 2 laufen lässt. x bleibt also x.

06.01.2009, 15:10

Highshine

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$\begin{eqnarray*} f^{\prime}(2) = \lim_{x \to 2} d(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 4}{x-2} \end{eqnarray*}$

viielleicht so?

06.01.2009, 15:20

Jacques

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Richtig.

Den Zwischenschritt mit lim ... d(2) kannst Du natürlich weglassen. Den habe ich oben nur zur Erklärung hingeschrieben.

Jetzt ersetzt Du wieder f(x) durch den konkret festgelegten Ausdruck. Und dann fange schonmal mit den Umformungen an.

06.01.2009, 15:25

Highshine

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durch welchen konkret festgelegten ausdruck?
das wusste ich ja nicht,durch was ich f(x) und x ersetzen soll.
durch 2?

06.01.2009, 15:27

Highshine

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nene moment..

f(x) durch x^3-2x
?

06.01.2009, 15:30

Jacques

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Genau. So ist die Funktion ja festgelegt: f(x) = x³ - 2x

Und dann bitte mit den Umformungen anfangen. :-)

06.01.2009, 15:37

Highshine

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das kann ich nicht.
ich habe überlegt die klammer zu entfernen. also von (x^3-2x)-4 / x-2
nach x^3+2x-4 / x-2

oder geht das nicht?...

06.01.2009, 15:53

Jacques

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Das ist nicht richtig, vor der Klammer steht ja kein Minuszeichen. Du kannst die Klammern einfach weglassen, denn in Summen braucht wegen des Assoziativgesetzes nicht geklammert zu werden.

Ich sehe gerade, dass man bei dem Term nicht einfach umformen kann. Du musst eine Polynomdivision machen:

(x³ + 2x - 4) : (x - 2) = ?

06.01.2009, 15:56

Highshine

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okay,moment mache ich..

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