Eigenwerte

06.01.2009, 05:47

Webermann

Eigenwerte

Hallo

Mich würde mal interessieren, ob die quadratische Matrix (sowohl aus IC und aus IR) A immer die gleichen Eigenwerte hat wie $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$
Wenn ich mir ein paar Beispiele aufschreibe, dann stimmt das.
Allerdings kenne ich für den Fall IR^3 die Formel von Sarrus um die "Determinante" bzw. die Eigenwerte dann zu bestimmen.
Eigentlich muss dann ja die Eigenschaft gelten:

$\begin{eqnarray*} det(A) = det(A^T) \end{eqnarray*}$

Mein Bauchgefühl sagt mir aber immer, dass sich bei den Eigenwerten vielleicht die Vorzeichen ändern.

Wie ist das denn nun? Beweisen konnte ich da nichts.
A soll keine speziellen Eigenschaften haben; also A muss nicht unbedingt symmetrisch sein.

Danke und Gruß,
Webermann

06.01.2009, 09:03

mYthos

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Die transponierte Matrix $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ entsteht durch Spiegelung der Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an der Hauptdiagonalen.

EDIT: Musste den Unsinn hier entfernen, sh. meine Nachposter ...

mY+

06.01.2009, 10:48

kiste

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Zitat:

Original von mYthos
Für einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ der n Eigenwerte einer n,n - Matrix gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_i^n - \text{spur}A \cdot \lambda_i + \text{det}A = 0 \end{eqnarray*}$

Das wäre ja ein tolles charakteristisches Polynom. Tatsächlich ist die Gleichung bereits für die 3x3 Einheitsmatrix falsch.

06.01.2009, 11:24

tigerbine

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Vielleicht wärst du so liebt gewesen, die richtige Formel zu ergänzen, Kiste? Wir sind doch ein Team. Mit Zunge

$\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda) = \lambda^n - a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2}\dots + (-1)^n a_n, \end{eqnarray*}$

06.01.2009, 22:44

mYthos

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Stimmt, das kann man doch nur für die 2x2 Matrix machen, tHX!

@..bine: Den Kiste hat's halt gefreut, dass mir auch mal ein Fehler unterlaufen ist Big Laugh

mY+

08.01.2009, 13:48

Webermann

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Hallo.

Ich verstehe leider immer noch nicht, ob diese Aussage

$\begin{eqnarray*} det(A) = det(A^T) \end{eqnarray*}$

für alle Matrizen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ richtig ist.

Kann mir das nicht einfach jemand vorsagen?