Ableitung der e-Funktion & Kettenregel

06.01.2009, 15:22

e-Funktion

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Ableitung der e-Funktion & Kettenregel

Hallo,

ich schreibe morgen einen Test über die e-Funktion und ihre Ableitungen. Zu diesem Zweck befasse ich mich gerade mit den Übungsaufgaben, die der Lehrer verteilt hat, hänge jedoch bei einer Aufgabe fest. Falls jemand das entsprechende Buch hat, die Aufgabe ist entnommen aus "Elemente der Mathematik 12/13 - Grundkurs Nordrhein-Westfalen", S. 139 Nr. 1 e):

Gegeben ist die funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = (e^x -1)² + (e^x + 1)² \end{eqnarray*}$ .
Die Aufgabenstellung lautet:

Zitat:

Gib zur Funktion f jeweils f´ und f´´ an. Fasse gegebenfalls zusammen (z. T. mit Kettenregel).

Gerechnet habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (e^x - 1)² + (e^x + 1)² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x * 2(e^x - 1) + e^x * 2(e^x + 1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2e^x * 2(e^x - 1) + 2(e^x + 1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2e^x * e^x + e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2e^x * 2e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 4e^x \end{eqnarray*}$

Ich bin mir aber total unsicher ob das korrekt ist. Könnte mir jemand die notwendigen Rechenschritte vielleicht erklären?

06.01.2009, 15:33

Zizou66

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Also bei der ersten ist die erste Zeile richtig. Aber was hast du im Übergang zur zweiten gemacht? Viel mehr würde es sich doch anbieten etwas auszuklammern, oder?

06.01.2009, 15:35

e-Funktion

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Ich habe die beiden e^x zusammen gefasst und die 2(e^x + 1) * 2(e^x - 1) hinten drangehängt, weil die sich ja nicht zusammenfassen lassen (oder vielleicht doch). Ausklammern war noch nie meine Stärke, wie würde das dann aussehen?

06.01.2009, 15:39

midn8

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RE: Ableitung der e-Funktion & Kettenregel
also in der dritten reihe wolltest du die 2 auf die linke seite bringen hast aber dann falsch ausgeklammert

wenn du hast

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2*e^x(e^x-1)+2*e^x(e^x+1) \end{eqnarray*}$

dann kannst du hier 2e^x ausklammern

$\begin{eqnarray*} = 2e^x(e^x-1+e^x+1)\\= 2e^x(2e^x)\\=(2e^x)^2 \end{eqnarray*}$

zum schluss musst du f''(x) bilden
müsste jetzt mit der kettenregel problemlos gehen

06.01.2009, 15:42

Zizou66

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Ok, es mag nicht deine Stärke sein, aber versuchs doch einfach mal. Man klammert einfach alle Terme aus, die in beiden Summanden gleich vorkommen.

Bei

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x\cdot 2(e^x - 1) + e^x \cdot 2(e^x + 1) \end{eqnarray*}$

wäre das?

06.01.2009, 15:56

e-Funktion

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Also wäre f''(x) dann:

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 2e^x * 2(e^x) \end{eqnarray*}$

?

Sofern das richtig ist, habe ich bei Teilaufgabe f korrekt abgeleitet?

f)

$\begin{eqnarray*} f(x) = (\frac{e^x + e^-x}{2})² + (\frac{e^x - e^-x}{2})² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (\frac{e^x + e^-x}{2})² * 2(\frac{e^x + e^-x}{2}) + (\frac{e^x - e^-x}{2})² * 2(\frac{e^x - e^-x}{2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (\frac{e^x + e^-x}{2})² * (e^x + e^-x) + (\frac{e^x - e^-x}{2})² * (e^x - e^-x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (2e^x) * (\frac{2e^x}{2})² \end{eqnarray*}$

?

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (\frac{e^x + e^-x}{2} \end{eqnarray*}$ ist doch genau das selbe, oder? Und wie handhabe ich die Brüche? 2 abgeleitet wäre ja 0, nur das geht nicht.

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06.01.2009, 16:10

Zizou66

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Zuerst mal an midn8:

Wir versuchen hier im Forum die Fragesteller zu den Lösungen anzuleiten und ihnen diese nicht vorzukauen. Dazu ist es oft hilfreich Fragen zu stellen, Lösungen sollten nur äußerst selten von Helfern gegeben werden und schon gar nicht einfach so.

Außerdem würde ich

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(2e^x)^2=4e^{2x} \end{eqnarray*}$

schreiben, das ist deutlich einfacher, vor allem fürs ableiten.

Zu deinem nächsten Problem e-Funktion:

Hier ist die Ableitung wieder nicht korrekt bestimmt.

Ich würde dir raten bei f(x) etwas umzuschreiben, damit du besser nachdifferenzieren kannst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du einfach nur die Kettenregel anwenden.

06.01.2009, 16:47

e-Funktion

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Zitat:

Original von Zizou66Außerdem würde ich

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(2e^x)^2=4e^{2x} \end{eqnarray*}$

schreiben, das ist deutlich einfacher, vor allem fürs ableiten.

Das hat etwas mit den Potenzgesetzen zu tun, richtig? Aber warum wird die 2 auch quadriert, wegen dem Auflösen der Klammer?

Zitat:

Zu deinem nächsten Problem e-Funktion:

Hier ist die Ableitung wieder nicht korrekt bestimmt.

Ich würde dir raten bei f(x) etwas umzuschreiben, damit du besser nachdifferenzieren kannst:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du einfach nur die Kettenregel anwenden.

Mal schauen. Wenn ich die ganze Gleichung mal 2 nehme um den Nenner wegzubekommen erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} (2e^x + 2e^-x)² + (2e^x - 2e^-x)² \end{eqnarray*}$

Mithilfe der Kettenregel abgeleitet ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} (2e^x + 2e^-x) * 2(2e^x + 2e^-x) + (2e^x - 2e^-x) * 2(2e^x - 2e^-x) \end{eqnarray*}$

Durch ausklammern:

$\begin{eqnarray*} (2e^x * 2(2e^x)) * (2e^-x)² * (-2e^-x)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (8e^x) * (2e^-x)² * (-2e^-x)² \end{eqnarray*}$

??? unglücklich

unglücklich

Ich steh vollkommen auf dem Schlauch.

06.01.2009, 16:55

Zizou66

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Wieso willst du mit 2 multiplizieren?
Das darf man hier nicht einfach so machen.

Deine Aufgabe ist es den Term abzuleiten, dazu habe ich dir dann geraten den Term etwas umzuschreiben, damit du einfacher nachdifferenzieren kannst. Dabei geht es wirklich nur ums nachdifferenzieren.

Also, versuchs bitte noch einmal, mit diesem Term:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

06.01.2009, 17:12

e-Funktion

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v(x) = ((e^x / 2) + ((e^-x / 2))
u(x) = v²

u'(v(x)) = 2((e^x / 2) + (e^-x / 2))
v'(x) = (e^x / 2) + (e^-x / 2)

$\begin{eqnarray*} 2((e^x / 2) + (e^-x / 2)) * ((e^x / 2) + (e^-x / 2)) + 2((e^x / 2) - (e^-x / 2)) * ((e^x / 2) - (e^-x / 2)) \end{eqnarray*}$

Also einfach nur die innere Ableitung (welche ja genau gleich ihrer Ursprungsform ist) mal die äußere und das gleiche mit der 2. Hälfte des Terms?

06.01.2009, 17:34

Zizou66

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Zitat:

Original von e-Funktion
v(x) = ((e^x / 2) + ((e^-x / 2))
u(x)=v²

Das ist falsch!

Du musst hier auf beide Summanden jeweils die Kettenregel anwenden, das sollte doch intuitiv ersichtlich sein. Sicherlich hast du auch schon was über das Ableiten von Summen gelernt.

Zitat:

u'(v(x)) = 2((e^x / 2) + (e^-x / 2))
v'(x) = (e^x / 2) + (e^-x / 2)

Auch das ist nicht richtig. Was ist $\begin{eqnarray*} (e^{-x})' \end{eqnarray*}$ ? Also die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ?
So bitte versuche es jetzt noch einmal. Denke daran, dass du einfach jeden Summanden einzeln per Kettenregel ableiten kannst.

06.01.2009, 18:10

e-Funktion

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Fehler meinerseits, die Ableitung von e^-x ist natürlich -e^-x. Du sagst ich soll die Kettenregel auf beide Summanden anwenden, d. h. e^x / 2 ist auch verkettet? e^x ist also die innere und x / 2 die äußere Funktion?

Demnach wäre die Ableitung der äußeren Funktion:

(e^x) / 2 = 2^-(e^x) => -2(e^x) ? Und der ganze Term (-2(e^x) * e^x)?

(-2(e^x) * e^(x) - e^-x * -2(e^-x)) + (-2(e^x) * e^(x) + 2(e^-x) * -e^-x)
(-2(e^2x) - 2(e^-2x)) - 2(e^2x) + 2(e^-2x))
(-2(e^2x) - 2(e^2x))
-4(e^2x)

Hm, da muss irgendein Vorzeichenfehler drin sein.

06.01.2009, 18:17

Zizou66

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Zitat:

Original von e-Funktion
Fehler meinerseits, die Ableitung von e^-x ist natürlich -e^-x. Du sagst ich soll die Kettenregel auf beide Summanden anwenden, d. h. e^x / 2 ist auch verkettet? e^x ist also die innere und x / 2 die äußere Funktion?

Nein. Ich habe mich vielleicht auch ein bisschen missverständlich ausgedrückt, es gibt ja sogar 3 Summen in dieser Funktion.

Hier

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

muss man zum einen

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

und zum anderen diesen

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Summanden ableiten, um $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ zu bilden. So, ich hoffe nun besteht Klarheit.

06.01.2009, 18:36

e-Funktion

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Okay, letzter Versuch:

Summanden ableiten:
((e^x / 2) + (-e^-x / 2))² + ((e^x / 2) - (-e^-x / 2))²

Kettenregel anwenden:
2((e^x / 2) + (-e^-x / 2)) * ((e^x / 2) + (-e^-x / 2)) + 2((e^x / 2) - (-e^-x / 2)) * ((e^x / 2) - (-e^-x / 2))
2((e^2x / 4) + (-e^-2x / 4)) + 2((e^2x / 4) - (-e^-2x / 4))

Durch 2 teilen:
((e^2x / 2) + (-e^-2x / 2)) + ((e^2x / 2) - (-e^-2x / 2))
2(e^2x / 2) + 2(e^-2x / 2)

Mal 2:
4(e^2x) + 4(e^-2x)

f''(x) = 4(e^2x) + 4(e^-2x)
= 4(2e^2x) + 4(-2e^-2x)
= 8e^2x - 8e^-2x

06.01.2009, 19:55

Zizou66

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Ich kann echt nicht genau erkennen, was du da machst. Weil wir auch schon ein paar gescheiterte Anläufe hatten, schreibe ich dir jetzt mal hin, wie ich es lösen würde:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^2+\left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\cdot\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)\cdot\left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right)+2\cdot\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)\cdot\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt dazu, wie ich darauf komme. Ich erkläre es nur am ersten Summanden, beim zweiten gehts genauso!

Wir sollen also

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

ableiten. Dazu leiten wir zunächst mal das äußere ab, dazu schreibt man den Exponent ganz einfach vor den Ausdruck, dieses Irgendwas, was in der Klammer steht bleibt unberührt:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Das ist allerdings noch nicht die vollständige Ableitung, es muss noch nachdifferenziert werden. Beim nachdifferenzieren multipliziert man noch die Ableitung aus dem Ausdruck, der in der Klammer steht mit dem was nun schon da steht. Jetzt muss man also nur noch diese Terme in der Klammer ableiten, das schaffst du schon alleine, deswegen mache ich es nicht vor. Das nachdifferenzieren bringt also noch dazu

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .
(Wieso da das Minus auftaucht hast du mir eben schon beantwortet.)

So ensteht dann die vollständige Ableitung des ersten Summanden nach der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\left(\frac{e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\right)\cdot\left(\frac{e^x}{2}-\frac{e^{-x}}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe du konntest jetzt einiges Verstehen, bitte lies dir das ganze gründlich durch und versuche jeden einzelnen Schritt nachzuvollziehen. Und Fragen solltest du natürlich, wenn du etwas nicht verstehst.

07.01.2009, 09:58

Nubler

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warum nich erst mal folgendes ansetzen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=(e^x+1)^2+(e^x-1)^2\stackrel{ausmultipliziert}{=}(e^x)^2+2e^x+1+(e^x)^2-2e^x+1\stackrel{zusammengefasst}{=}2(e^x)^2+2\stackrel{exponentialgesetz}{=}2e^{2x}+2 \end{eqnarray*}$

und damit lässt sich imo wesentlich angenehmer rechnen

sämtliche ableitungen folgen sofort aus der kettenregel mit $\begin{eqnarray*} z=2e^y+2 \end{eqnarray*}$ als äußerer und $\begin{eqnarray*} y=2x \end{eqnarray*}$ als innerer funktion

07.01.2009, 14:22

e-Funktion

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Ich glaube ich hatte gestern einen echt schlechten Tag, es ist ja tatsächlich nur u'(v(x)) * v'(x). Heute kann ich dem auch problemlos folgen. Danke dir, dass du so geduldig mit mir warst.

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