Sigma Algebra

06.01.2009, 16:26

lilo1984

Sigma Algebra

Hallo,

ich brächte eine Hilfestellung bzgl. der sigma algebra.

Gegeben ist die Abbildung F: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ -> [1, 10) und die Funktion F(x)=m, m $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [1, 10). $\begin{eqnarray*} x=m*10^n \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Sigma Algebra.

Idee: da ich die Menge Omega $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ und eine Menge Omega' [1, 10) erzeugt von der Funktion F(x) habe, kann man sich die Eigenschaft, dass das Urbild $\begin{eqnarray*} f^-1 \end{eqnarray*}$ (A') mit A' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Omega' eine Sigma Algebra in Omega ist, zur Hilfe nehmen.

Und somit folgt für die Sigma Algebra

$\begin{eqnarray*} F^-1[1, 10) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ [1, 10)* $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$

Stimmt das so oder muss ich da einen anderen Weg wählen?

Grüße
lilo

06.01.2009, 17:46

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Zitat:

Original von lilo1984
Gegeben ist die Abbildung F: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ -> [1, 10) und die Funktion F(x)=m, m $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [1, 10). $\begin{eqnarray*} x=m*10^n \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Sigma Algebra.

Lies dir mal - völlig losgelöst von anderen Sachen - diese "Aufgabe" (?) durch und denke mal darüber nach, ob das für andere verständlich sein kann...

Die Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist nicht erkennbar definiert, und welche Sigma-Algebra soll da gesucht sein? Die Urbild-Sigma-Algebra der Abbildung $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , im "Borel-Sinn" (d.h. mit Borelscher Sigma-Algebra im Bildraum [1,10)) ?

Fragen über Fragen. Aus deinen Lösungsversuchen könnte man in mühsamer detektivischer Kleinarbeit nach und nach versuchen zu entziffern, was du eigentlich meinst. Aber ich werde mir das gewiss nicht antun. unglücklich

EDIT: Ok, zumindest die Funktion kann man entziffern: Vermutlich meinst du

$\begin{eqnarray*} F(x)=m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=m \cdot 10^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\in[1, 10) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ,

sozusagen Dezimaldarstellung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit Mantisse $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ und Exponent $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

07.01.2009, 21:07

lilo1984

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Hallo ich dachte du kannst hellsehen :-),

die Funktion hast du gut entschlüsselt. Zur Sigma-Algebra ist noch zu sagen, dass diejeniege gesucht ist, die von der Funktion F auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, mit der Borelmenge B, wobei B Teilmenge von [1, 10).

Die Idee aus dem ersten Beitrag kann ich verwerfen, da für diese Eigenschaft eine Sigma-Algebra vorhanden sein muss. Ich glaube einfacher geht es, wenn ich mir die Bedingungen der Sigma-Algebra S, speziell die 3te, anschaue $\begin{eqnarray*} \bigcup A_i = \end{eqnarray*}$ S. Die Vereinigung aller A's liegen in S. Wenn ich nun weiss, dass alle meine Intervalle, nach rechts offen, Borelmengen sind, dann braucht man sich nur noch das Urbild der Mengen anschauen die die Borelmengen erzeugen.

Für die von F erzeugte Sigma-Algebra folgt dann:

$\begin{eqnarray*} F^-1[1, 10) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ [1, 10)* $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$

Ob ich da auf dem richtigen Weg bin?

Hoffe es wird nicht verwirrender

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