Aufgabenstellung unklar (Darstellungsmatrizen)

06.01.2009, 16:38

Zellerli

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Aufgabenstellung unklar (Darstellungsmatrizen)

Ich tippe das mal ab, damit man nicht immer zwischen Bild und Thread switched muss:

$\begin{eqnarray*} \text{Im } \mathbb{R}\text{-Vektorraum } \mathbb{R}^3 \text{ seien die folgenden zwei Basen gegeben:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B:=(b_1,b_2,b_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{B}:=(\overline{b}_1,\overline{b}_2,\overline{b}_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \text{ Berechnen Sie die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung auf } \mathbb{R}^3 \text{ bzgl. }B\text{ im Urbildraum und } \overline{B} \text{ im Bildraum.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \text{ Sei nun die lineare Abbildung }f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \text{ bzgl. der Basen }B \text{ und } \overline{B} \text{ des Urbild- bzw. Bildraums gegeben durch die Darstellungsmatrix } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A:=E \text{ (3x3 Einheitsmatrix)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix }A' \text{ von } f \text{ bzgl. der Standardbasis }(e_1,e_2,e_3) \text{ im Urbild- und im Bildraum.} \end{eqnarray*}$

Hab jetzt die genauen Vektoren weggelassen, kann man im Anhang nachsehen, aber die sind unwichtig für das Verständnisproblem.

Bei a) Hab ich halt einfach genau die Matrix gesucht, die $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ auf ihre "Partner" $\begin{eqnarray*} \overline{b}_1,\overline{b}_2,\overline{b}_3 \end{eqnarray*}$ abbildet. Frage am Rande: Gibts für 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten was schnelleres als Gauss (außer Mathematica und so, soll ja Klausurtauglich sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

)? Jedenfalls sollte das richtig sein.

Bei b) verstehe ich nicht, was verlangt ist. Eigentlich ist es die letzte Zeile, die mich verwirrt: "im Urbild- und im Bildraum"

Ich habe das so gedeutet: Da gibts ne Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die bildet $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ irgendwie so ab, dass der Bildvektor zwar unverändert ist, aber in $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ eine andere Bedeutung hat. Blöd formuliert, ich hoffe man kann mir folgen...
Jetzt soll ich eine Darstellungsmatrix finden, sodass die Standardbasisvektoren so abgebildet werden, dass sie die Basisvektoren des $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ ergeben... ???

Ich brauch unbedingt Interpretationshilfe! Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2009, 18:19

Reksilat

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RE: Aufgabenstellung unklar (Darstellungsmatrizen)
Zu a): Es ist ja kein 9x9-System, sondern drei 3x3-Systeme. Das veringert den Aufwand schon mal.

Zu b): Die Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet den Vektor $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{b_1} \end{eqnarray*}$ ab, $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{b_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \overline{b_3} \end{eqnarray*}$ .
Allgemein: $\begin{eqnarray*} f\left(\sum_{i=1}^3\lambda_ib_i\right)=\sum_{i=1}^3\lambda_i\overline{b_i} \end{eqnarray*}$

Es ist nun zu bestimmen, worauf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Standardbasisvektoren abbildet, die Bilder sind dann jeweils wieder als Linearkombination der Standardbasis anzugeben.

06.01.2009, 18:28

tigerbine

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RE: Aufgabenstellung unklar (Darstellungsmatrizen)
[Artikel] Basiswechsel

06.01.2009, 19:25

Zellerli

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Ich bin glaube ich grade etwas schwer von Begriff...

Den Basiswechsel (danke für den Link, is da nochmal verständlich erklärt) habe ich ja in a) schonmal hinbekommen. Und jetzt liegt bei b) wieder sowas an. Leider is mir aus der Aufgabenstellung überhaupt nicht klar, zwischen welchen Basen...

Aaah... ich glaube gerade macht es klick. Es möge mir bitte jemand folgende Version bestätigen:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bildet Vektoren des Urbildraumes mit der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf den Bildraum mit der Basis $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ ab.
Jetzt soll ich diejenige Darstellungsmatrix finden, die diese Abbildung beschreibt, wenn aber die Basis des Urbildraums die "normale" Basis ist und die Basis des Bildraums ebenfalls.
Deshalb der Satz "im Urbild- und im Bildraum".

Igitt das ist auf jedenfall wieder elendige, seitenweise Rechenarbeit mit vielen Rechenfehlern Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2009, 19:54

tigerbine

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Gegeben ist die lin. Abbildung f: IR³ -> IR³ und ihre Abbildungsmatrix bzgl. der Basen $\begin{eqnarray*} B,\overline{B} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{B}^{\overline{B}}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gefragt ist nun die Gestalt der Abbildungsmatrix von f bzgl. der Einheitsbasis E_3

$\begin{eqnarray*} A_{E_3}^{E_3}= ? \end{eqnarray*}$

wir dürfen wohl davon ausgehen, dass und bei den Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} B,\overline{B} \end{eqnarray*}$ deren Koordinaten bzgl. E3 angegeben sind. Wie lauten also die Matrizen der Basiswechsel?

$\begin{eqnarray*} b_1=1\cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 3 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_2=4\cdot e_1 + 5 \cdot e_2 + 6 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_3=7\cdot e_1 + 8 \cdot e_2 + 0 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{b_1}=1\cdot e_1 + 1 \cdot e_2 + 1 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{b_2}=1\cdot e_1 + 0 \cdot e_2 -1 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{b_3}=1\cdot e_1 -1 \cdot e_2 + 0 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$

Nun wie im verlinkten Workshop vorgehen.

Edit: das sollte rauskommen..

code:

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>> basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2,3]
Vektor 2: [4,5,6]
Vektor 3: [7,8,0]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,1,1]
Vektor 2: [1,0,-1]
Vektor 3: [1,-1,0]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 2
 
M = [1,0,0;0,1,0;0,0,1]
 
y=(T*M2*SI)x=M1x
SI =
   -1.7778    1.5556   -0.1111
    0.8889   -0.7778    0.2222
   -0.1111    0.2222   -0.1111
M2 =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1
T =
     1     1     1
     1     0    -1
     1    -1     0
M1 =
   -1.0000    1.0000    0.0000
   -1.6667    1.3333    0.0000
   -2.6667    2.3333   -0.3333

06.01.2009, 20:40

Zellerli

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Oh oh... genau die Matrix M1 hab ich bei a) raus. Allerdings damals noch mit der perversen Methode 9 Gleichungen 9 Unbekannte (da war mir der schöne Workshop noch nicht bekannt...).

Also irgendwas läuft hier schief.

Bei a) ist doch eine Matrix gesucht, die jeden Vektor $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in seinen zugehörigen Vektor $\begin{eqnarray*} \overline{b}_i \end{eqnarray*}$ der Basis $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ umformt.
Sowas heißt (zumindest laut Wiki) Darstellungsmatrix.

Das macht genau die Matrix M1.

Die b) hab ich jetzt so interpretiert, dass es eine Abbildung gibt, die die Vektoren bzgl. Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in ihre Abbilder bzgl. Basis $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ abbildet.

Um herauszukriegen, wie diese Abbildung aussieht, wenn sie von der Standardbasis auf die Standardbasis abbildet, muss man so vorgehen (dachte ich mir):

1. Schau was $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (angwendet auf die Vektoren $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ ) in $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ ausspuckt.
2. Stelle das mit der Inversen der in a) gefundenen Matrix auf der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ dar
3. Finde jetzt eine Abbildungsmatrix, die die Basisvektoren von B auf die in 2. erzeugten Vektoren abbildet.
4. Diese Abbildungsmatrix bildet von gleicher Basis auf gleiche Basis ab und sollte identisch sein mit der Abbildungsmatrix, die von der Standardbasis auf die Standardbasis abbildet.

Irgendwie fehlt mir da der klare Durchblick Augenzwinkern

Augenzwinkern

Weil das alles nicht so schön anschaulich ist...

edit: bin kurz off, aber nachher wieder da

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06.01.2009, 21:02

tigerbine

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Naja, immerhin haben wir das gleiche raus. nur habe ich es mir einfacher gemacht. Wenn du den Fischer, LA hast, darin kannst du das mal schön mit dem Basiswechsel nachlesen. Aber anschaulicher wird es nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aufgabe b habe ich dir vorgerechnet. Mit der Skizze sollte es klar sein. Vielleicht sollte ich im Programm noch einen * einbauen, um Verwechslungen zu vermeiden, auch wenn es im Text erklärt ist (mit Basis von V oder W)

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1* /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2* M2

Die Aufgabe sagt dir, dass man bei einer Matrix auch das kleingedruckte kennen muss, nämlich bzgl. welcher Basen. Steht nichts da ,so gehen wir von den Standardbasen aus. Nun haben wir hier A eben bzgl. andere Basen und wollen und das mal auf die "geliebte" Standardform" zurückrechnen.

Aus der Grafik können wir sofort rauslesen, wie wir die Matrix finden. Es führen ja 2 Wege zum Ziel:

Input: Koordinatenvektor bzgl. E3
Abbildung bzgl. E3E3
Output:Koordinatenvektor bzgl E3

alternativ:
Input: Koordinatenvektor bzgl. E3
Koordinatenumrechnung auf B
Abbildung bzgl. BB*
Koordinatenumrechnung auf E3

06.01.2009, 22:23

tigerbine

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Warum Aufgabe a nun weniger punkte gibt... wundert mich... Im Grunde ist es das gleiche Schema, nur kennen wir die andere Abbildungsmatrix. Der Weg ist ja:

Kenne den Vektor bzgl. B -> Rechne dessen Koordinaten bzgl. der E3 aus -> Bilde mit id E3 ab (also "mach nix") und rechne dann die Koordinaten bzgl. B* aus.

code:

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Basiswechsel
 
Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1*    
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2*    
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2,3]
Vektor 2: [4,5,6]
Vektor 3: [7,8,0]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,1,1]
Vektor 2: [1,0,-1]
Vektor 3: [1,-1,0]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [1,0,0;0,1,0;0,0,1]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     4     7
     2     5     8
     3     6     0
M1 =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1
TI =
    0.3333    0.3333    0.3333
    0.3333    0.3333   -0.6667
    0.3333   -0.6667    0.3333
M2 =
    2.0000    5.0000    5.0000
   -1.0000   -1.0000    5.0000
         0    0.0000   -3.0000

06.01.2009, 23:37

Zellerli

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Ist das die Lösung für a)? Da hatte ich wie gesagt die Matrix raus, auf die du bei b) gekommen bist.

Was stimmt nicht an meinem Weg bei a) :

Die gesuchte Matrix erfüllt die Eigenschaft, dass sie multipliziert mit dem ersten (zweiten, dritten) Vektor der Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ den ersten (zweiten, dritten) Vektor der Basis $\begin{eqnarray*} \overline{B} \end{eqnarray*}$ ergibt.

Das hab ich mir hier geklaut.

Und das ist ja mal ein Schritt weniger, als man ihn bei b) gehen muss.

Das kann alles nicht schwer sein. Die beiden anderen Aufgaben bringen auch jeweils 6Pkt und die hatte ich in weniger als 2Std. Aber an der hocke ich den halben Tag Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich muss irgendwas noch nicht verstanden haben, sonst würde das rund laufen... Mal sehen:
Was ist mit "Koordinatenvektor" gemeint?
Jetzt will ich mal den Weg am Quadrat nachvollziehen:
Wie muss ich die Basen an den Ecken verstehen? Ich glaub, ich darf mich garnicht an den Basen aufhängen, sondern muss mich auf die Abbildungen konzentrieren: Die Pfeile zeigen offenbar den Zusammenhang (Matrizenmultiplikation, Rechenregeln hab ich ein sehr mäßiges Hintergrundwissen). M2 ist gegeben und S und T kann ich ausrechnen, weil die jeweils Darstellungsmatrizen von B1 auf B2 bzw. B1* auf B2* sind. Will ich von B1 nach B1* gehen (also M1 ersetzen) gehe ich: falschrum S, richtigrum M2, richtigrum T. Und fertig fallen diese Richtungen dann so aus:
$\begin{eqnarray*} M_1 = S^{-1}M_2T \end{eqnarray*}$ Blöd... das ist falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie muss ich das stattdessen interpretieren?

Also löse ich das am Besten auch mit einer derartigen Skizze, damit es schön nachvollziehbar ist.

Bleibt aber noch als wichtige Frage, warum mein erster Ansatz für a) falsch ist und er zufällig genau auf die Lösung von b) führt...

06.01.2009, 23:41

tigerbine

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Step 1
Mmh , das ist natürlich schlecht. Schauen wir nochmal a an. Wir haben den IR³ als Vektorraum und damit wir Vektoren konkret angeben können statten wir in mit einem Koordinatensystem aus. Dazu nehmen wir die Standardeinheitsvektoren.

Unsere tolle Abbildung soll die Identiät sein. Die zugehörige Matrix, bzgl. E3 ist dann die Einheitsmatrix.

Soweit klar?

06.01.2009, 23:43

Zellerli

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Noch kann ich gut folgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

go on

06.01.2009, 23:46

tigerbine

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Ok. Nun nehmen wir uns mal einen konkreten Vektor v. Der soll bzgl. der E3 die Darstellung haben:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}_{E3} \end{eqnarray*}$

Welche Darstellung hat er bzgl. B?

06.01.2009, 23:51

Zellerli

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Na, da kommen wir der Sache schon näher...

Wenn ich mir die jetzige Darstellung ansehe, dann hat er.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot e_1 + 2 \cdot e_2 + 3 \cdot e_3 \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ so bestimmen, dass

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot b_1 + \lambda_2 \cdot b_2 + \lambda_3 \cdot b_3 \end{eqnarray*}$ den Vektor ergeben.

Ist das soweit richtig? Auf Anhieb sehe ich die gesuchten $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ aber nicht unglücklich

unglücklich

06.01.2009, 23:53

tigerbine

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Ich hab den doch eigentlich ganz lieb ausgesucht... Schau doch mal b1 an. Der ist doch bzgl. E3-Koordinaten angegeben.

06.01.2009, 23:58

Zellerli

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Ja, genau. Das ist er. Vielleicht denk ich jetzt zu kompliziert. In dem schönen E3 Koordinatensystem, schreibt man ganz oben im Vektor das Vielfache des $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ Vektors, in die Mitte das Vielfache des $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ und unten dann den $\begin{eqnarray*} e_3 \end{eqnarray*}$ .

Das sind dann die Koordinaten eines Vektors bzgl. E3.

Hat man aber 3 andere Basis Vektoren ("bzgl. B"), muss da rumgepfuscht werden.

Was ist an der Überlegung schief?

07.01.2009, 00:04

tigerbine

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Wir pfuschen doch nicht... Big Laugh

Big Laugh

Zurück zu meiner FRage. Wir kennen (und müssen das auch) die "neue Basis B" ja mit der alten in Bezug stellen. Durch meine Wahl ergibt sich für v aus dem IR³

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}_{E3}\stackrel{\text{Def. B}} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}_B \end{eqnarray*}$

Klar?

07.01.2009, 00:15

Zellerli

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Sorry für die späte Antwort, war neue Seite, habs zu spät gesehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja passt ja, bei gegebenen Basisvektoren hätte ich eben $\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$ rausgebracht und die anderen wären 0. Wobei das zugegeben sehr Wald-vor-lauter-Bäume mäßig war Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also: klar.

07.01.2009, 00:24

tigerbine

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Ok. Nun kommt der schwierigere Teil. Welche Darstellung hat v bzgl. B*? Dazu musst du das LGS lösen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{pmatrix}_{E_3} \begin{pmatrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}_E3 \end{eqnarray*}$

D.h. der Vektor lambda gibt ab, wie man v(darstellung bzgl E3) durch Linearkombination der B*s in Darstellung bzgl. E3 erhält. Das sind dann die Koordinaten von v bzgl. B*

Im Vergleich das nochmal mit B. Klar?

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	S S = 1 4 7 2 5 8 3 6 0 >> S\[1;2;3] ans = 1 0 0

07.01.2009, 00:32

Zellerli

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Sofern das das selbe Gleichungssystem ist, wie das was ich vorhin aufgestellt habe und jetzt wieder aufstellen würde (nur eben mit b* Vektoren), ist es klar.

Ich habs bisher konsequent vermeiden können Matrizen für LGS zu verwenden. Auch wenn sie das Leben erheblich erleichtern. Deshalb seh ich nicht auf Anhieb, ob mit der Matrix genau das gemeint ist. Denke aber schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.01.2009, 00:38

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrizen sind...schön Ups

Ups

Fassen wir zusammen (ich löse das LGS mal...)

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9:	T = 1 1 1 1 0 -1 1 -1 0 >> T\[1;2;3] ans = 2 -1 0

$\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}_{E3}\stackrel{\text{Def. B}} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}_B \stackrel{\text{Def. B*}} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}_{B*} \end{eqnarray*}$

Wir haben also 3 Darstllungen für ein und den selben Vektor. Nun sind wir auf der Suche nach einer Matrix, die uns das umrechnen leichter macht. Koordinaten bzgl. B rein, Koordinaten von B* raus.

Was steht denn in den Spalten einer Matrix? Und wie erklärt sich so meine Wahl von v?

07.01.2009, 00:46

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

In den Spalten stehen offenbar die... jetzt bei der Formulierung aufpassen:

Die Basisvektoren von B bzgl. E3.

Ja doch das müssts sein. Und "bzgl. E3" ist dann hier wohl der springende Punkt, oder?

Naja und v ist eben ein solcher Basisvektor von B bzgl. E3.

07.01.2009, 00:52

tigerbine

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Augenzwinkern

Und nun mal einen Blick in den Workshop. Ich nenne das Diagramm nun mal auf die Aufgabe angepasst um:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	M1 E3 ----------> E3 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B ----------> B* M2

Dann ist S also die Matrix des Basiswechsels von B nach E3. T die von B* nach E3

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:	S = 1 4 7 2 5 8 3 6 0 T = 1 1 1 1 0 -1 1 -1 0

Klar? D.h. gleicher Vektor, nur andere Koordinaten da Basiswechsel.

07.01.2009, 01:04

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Matrizen kann man so schön direkt ablesen (bzw. bilden indem man lediglich die Vektoren reinsteckt), weil jeweils die Basisvektoren bzgl. ihrer eigenen Basis die Gestalt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (usw.) haben und mit der Matrix multipliziert ihre Darstellung bzgl. E3 ergeben müssen.

Das ist einleuchtend.

07.01.2009, 01:11

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war der einfache Teil der Übung. Wir wollen nun aber wissen, wie M2 aussieht, wenn M1 die Identität ist. Dein Vorschlag? Mal nur als Matrizenprodukt.

07.01.2009, 01:19

Zellerli

Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut...

Wir reden immer von den gleichen Vektoren, nur die Darstellung ändert sich. Ich glaube den Satz nehm ich mir auf Kassette auf und hör ihn die Nacht über an Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Vektor ist in B. Über S kommt der Vektor nach E3 und ist immernoch der selbe. Weil M1 die Identität ist, ist er im "anderen" E3 auch noch der selbe. Und jetzt brauche ich eine Abbildung, die ihn von E3 nach B* bringt.

Und er ist immernoch der Selbe. Nur wenn man die Abbildungen richtig zusammenfügt, hat man als resultierende Abbildung eine Matrix, die mir aus nem Vektor bzgl. B direkt nen Vektor bzgl. B* macht.

Kommt man so hin?

07.01.2009, 01:22

tigerbine

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Jo. Und nun mal mit den Matrizen aus dem Diagramm das ganze kurz und schmerzlos. Nur in Buchstaben. keine konkreten Matrizen. Noch nicht Big Laugh

Big Laugh

07.01.2009, 01:25

Zellerli

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B nach E3: S

Dann (hab ich mir grade mal überlegt...) von LINKS dranmultiplizieren

E3 nach E3: E

nochmal von links:

E3 nach B*: sicher ne entartete Form von T

und zufällig bestimmt $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ , aber vorerst mal nur $\begin{eqnarray*} T_e \end{eqnarray*}$ wie entartet.

macht: $\begin{eqnarray*} T_eES=T_eS \end{eqnarray*}$

07.01.2009, 01:31

tigerbine

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Freude

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10:	M1 E3 ----------> E3 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B ----------> B* M2

Du musst nur das Diagramm ablaufen. Wir suchen:

code:
1: 2: 3:	B ----------> B* M2

nun der alternative Weg:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:	M1 E3 ----------> E3 /\ \| \| V S T^-1 W \| \| \| \| \| \/ B B*

Also S dann M1 dann T^-1. Dass macht dann (Reihenvolge umkehren, da wir mit Vektoren von rechts nach links rechnen):

$\begin{eqnarray*} M_2=T^{-1}M_1S \end{eqnarray*}$

Und das lästige ist nun eben, die Inverse von T zu bestimmen.

07.01.2009, 01:37

Zellerli

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Das hab ich doch raus. M1 ist ja Einheitsmatrix.

Ja Inverse... Da hatte ich was im Skript gelesen, wie man da vorgehen soll Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ich mir jetzt die Aufgabenstellung von b) anschaue... Da ist das ja wirklich das gleiche, nur dass diesmal die Einheitsmatrix (invertiert hoffentlich immernoch sie selbst) auf der "anderen" Seite liegt.

Unterm Strich würde ich sagen, dass mich vor allem verwirrt hat, dass die gegebenen Vektoren stillschweigend bzgl. E3 gemeint sind und ich wegen gegebener Urbildmatrix irgendwie interpretiert habe, dass die sich darauf beziehen.

07.01.2009, 01:42

tigerbine

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hab doch auch Freude

Freude

geschrieben.

Die Einheitsmatrix musst du bei b nicht invertieren. Wir sind immer noch im gleichen Basiskonstrukt, also S und T bleiben bestehen.

Nun ist eben M2 die Einheitsmatrix, d.h. die Abbildung f ordnet dem ersten BV on B den ersten von B* zu usw. Dabei ist nun im Gegensatz zu A f(v) nicht mehr v.

Das sehen wir am Ende auch ganz klar daran, dass M1 nicht mehr die Einheitsmatrix ist und M1 ja nur bzgl. E3 darstellt.

$\begin{eqnarray*} M_1=TM_2S^{-1} \end{eqnarray*}$

Kannst dich ja mal melden, wenn ihr die Übung zurück habt, warum es da unterschiedliche Punkte gab. Wink

Wink

07.01.2009, 01:50

Zellerli

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Schau mer mal, dann seh mer scho. Denke gibts erst in paar Wochen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen, vielen Dank dir! Gott

Gott

07.01.2009, 01:50

tigerbine

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Gern geschehen. Wink

Wink

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