Häufungspunkt

06.01.2009, 18:39

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

Häufungspunkt

hey,
ich habe folgende Menge und soll davon die Menge aller Häufungspunkte und die Menge aller inneren Punkte bestimmen.
$\begin{eqnarray*} D_1=[0,1] \cup \{ \frac{2n}{n+1} | n\in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$

Allerdings weiß ich nicht so wirklich wie das gehen soll...

Der Teil in der Klammer geht ja wohl gegen 2. Aber wie bestimm ich dann den Häufungspunkt? Was mach ich mit dem Intervall von 0 bis 1, was davor steht?

KÖnnt ihr mir da helfen?

06.01.2009, 18:45

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreiben wir das mal zur Anschaung so hin.

$\begin{eqnarray*} D_1 = [0,1] \cup \{1, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{8}{5}, \frac{5}{3}, \dotsc \} = [0,1] \cup \{\frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{8}{5}, \frac{5}{3}, \dotsc \} \end{eqnarray*}$

Wie du schon gesagt hast, näheren sich die Folgenglieder (und damit die Elemente der Menge der Zahl 2).

Wie war jetzt nochmal ein Häufungspunkt definiert?

Und wie ein innerer Punkt?

06.01.2009, 18:50

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja die Definition für einen Häufungspunkt ist ja, dass für unendlich viele Folgeglieder beliebig nah um ihn rum liegen.

Damit müsste doch der Häufungspunkt vom dem zweiten Teil 2 sein?
Was ich nicht weiß ist, wie ich das zusammenmatsch mit dem INtervall von 0-1

06.01.2009, 18:51

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht hierbei um die Häufungspunkte einer Menge, nicht um die einer Folge.

Der ist anders definiert. Das erklärt auch deine Verwirrung.

06.01.2009, 18:58

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

ääähm
kann ich dann hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} D_1=[0,1] \cup \{ 2\} \end{eqnarray*}$

Da 2 ein isolierter Punkt ist, ist der Häufungspunkt also das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ?

06.01.2009, 19:09

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Menge ist genau die Menge, die da steht. Da kannst du nichts anders hinschreiben.

Wie ist denn jetzt ein Häufungspunkt einer Menge definiert? Sonst kommen wir hier wohl kaum weiter.

Anzeige

06.01.2009, 19:16

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

So kommen wir aber auch nicht weiter.

Ich kann dir hier hinklatschen, was wiki sagt, aber das hilft mir nicht wirklich.

Zitat:

In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele weitere Punkte in seiner Nähe hat

Es ist ja schön und gut, dass hier keinem einfach die Lösung hingeklatscht wird, aber die Bausteine, um zur Lösung zu kommen, könnten ja schon gelegt werden...
Ich find hier in meinen Büchern nichts, was mir da im mom weiterhilft.
Deshalb bin ich hier ins Forum gekommen, aber viel helfen tut mir das bis jetzt auch nichts...

06.01.2009, 19:17

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

p heißt Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung von p mindestens ein Punkt von M liegt, der von p verschieden ist.

So. Für welche Punkte ist das hier denn der Fall?

Betrachte mal erst die Punkte des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

06.01.2009, 19:25

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

bist du sicher, dass das die Definition ist?
ich habe grad das hier gefunden:

a heißt Häufungspunkt der Menge A, wenn in jeder Umgebung von a unendlich viele Elemente von A liegen.

Quelle: http://www.math.hu-berlin.de/~ana14/html...000000000000000

verwirrt

verwirrt

verwirrt

06.01.2009, 19:31

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definitionen sind äquivalent und werden entsprechend beide verwendet.

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Menge. Angenommen in jeder Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegt mind. ein Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ eine beliebige Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ . Es existiert ein $\begin{eqnarray*} u_1 \in U \end{eqnarray*}$ , das in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegt. Wähle nun $\begin{eqnarray*} U_2 = \{x \in \mathbb R \mid |a-x|<|a-u_1| \} \subset U_1 \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} u_1 \notin U_2 \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} u_2 \in U_2 \end{eqnarray*}$ , dass in M liegt und von $\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ verschieden ist.

Wenn man immer so weiter macht, kann man eine Folge $\begin{eqnarray*} (u_n) \end{eqnarray*}$ von paarweise verschiedenen Punkten aus $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ konstruieren, die in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen. Das sind also unendlich viele.

06.01.2009, 19:38

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

ok - dann müsste aber die Menge aller Häufungspunkte für das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ sein, oder? Denn dann habe ich ja - egal wie groß ich die Umgebung wähle immer ein Element der Ausgangsmenge.

06.01.2009, 20:05

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

hab ich damit recht, oder spinn ich rum?

sry für den Doppelpost und, dass ich so schnell wieder poste, aber ich steh ein bisschen unter zeitdruck... unglücklich

unglücklich

06.01.2009, 20:14

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Du hast Recht. Und wie lautet dann die Menge aller Häufungspunkte?

06.01.2009, 20:14

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wanderfalke
ok - dann müsste aber die Menge aller Häufungspunkte für das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ sein, oder?

Ja. Ich denke aber, du solltest noch eine Begründung dazuschreiben?

06.01.2009, 20:21

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

für die gesamte Menge müsste dann doch auch gelten:

Menge aller Häufungspunkt = [0,1], oder? Damit wäre dieser Teil der AUfgabe doch abgearbeitet, oder?

Da die Menge aller Häufungspunkte eine Teilmenge der Ausgangsmenge ist, müsste es die Menge abgeschlossen sein.

Was ist jetzt noch nicht verstehe sind die inneren Punkte. Wie komm ich da ran?

06.01.2009, 20:24

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wanderfalke

Menge aller Häufungspunkt = [0,1], oder? Damit wäre dieser Teil der AUfgabe doch abgearbeitet, oder?

Und wo ist die 2 geblieben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Wanderfalke

Da die Menge aller Häufungspunkte eine Teilmenge der Ausgangsmenge ist, müsste es die Menge abgeschlossen sein.

Ja, das stimmt, so ist Abgeschlossenheit ja gerade definiert.

Zitat:

Original von Wanderfalke

Was ist jetzt noch nicht verstehe sind die inneren Punkte. Wie komm ich da ran?

Wie habt Ihr den Begriff definiert?

06.01.2009, 20:40

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

ist dann die Menge aller Häufungspunkte = [0,1] $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {2} ?

die inneren punkte müssten doch die Punkte sein, die gerade nicht auf dem Rand liegen, oder?
also:
Menge der inneren Punkte = ]0,1[
Aber wie pack ich nu die 2 da wieder rein?

Könnt ihr mir vielleicht einmal kurz sauber runterschreiben, wie das aussieht?
Ich dreh hier sonst noch durch...

06.01.2009, 20:40

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

ist dann die Menge aller Häufungspunkte = [0,1] $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {2} ?

die inneren punkte müssten doch die Punkte sein, die gerade nicht auf dem Rand liegen, oder?
also:
Menge der inneren Punkte = ]0,1[
Aber wie pack ich nu die 2 da wieder rein?

Könnt ihr mir vielleicht einmal kurz sauber runterschreiben, wie das aussieht?
Ich dreh hier sonst noch durch...

*edit: Doppelpost - bitte löschen!

06.01.2009, 20:44

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wanderfalke

ist dann die Menge aller Häufungspunkte = [0,1] $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ {2} ?

Stimmt genau. Freude

Freude

Zitat:

Original von Wanderfalke

die inneren punkte müssten doch die Punkte sein, die gerade nicht auf dem Rand liegen, oder?

Die übliche Definition lautet: x heißt genau dann innerer Punkt der Menge M, wenn es eine epsilon-Umgebung von x gibt, die Teilmenge von M ist.

Zitat:

Original von Wanderfalke

also:
Menge der inneren Punkte = ]0,1[
Aber wie pack ich nu die 2 da wieder rein?

Ist die 2 denn überhaupt ein innerer Punkt?

Zitat:

Original von Wanderfalke

Könnt ihr mir vielleicht einmal kurz sauber runterschreiben, wie das aussieht?

Wie meinst Du das? Geht es um die Beweise?

06.01.2009, 20:47

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist die 2 denn überhaupt ein innerer Punkt?

Ich würde sagen "nein", denn wenn ich um 2 eine epsilon-Umgebung lege, dann ist sie - egal wie klein ich sie wähle nicht mehr in der Ausgangsmenge drin.

Ist dann die Menge der inneren Punkte = ]0,1[ ?

Zitat:

Wie meinst Du das? Geht es um die Beweise?

naja - es geht mehr darum, dass ich langsam den eindruck hatte, dass ich damit nicht mehr zurande komme und ich bis morgen nicht damit durchkomme...

06.01.2009, 20:54

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wanderfalke

Ich würde sagen "nein", denn wenn ich um 2 eine epsilon-Umgebung lege, dann ist sie - egal wie klein ich sie wähle nicht mehr in der Ausgangsmenge drin.

Genau. Schon die 2 selbst ist ja gar nicht Element der Menge, also kann es keine epsilon-Umgebung von 2 geben, die vollständig in D1 liegt.

Zitat:

Original von Wanderfalke

Ist dann die Menge der inneren Punkte = ]0,1[ ?

Korrekt.

Freude

Zitat:

Original von Wanderfalke

naja - es geht mehr darum, dass ich langsam den eindruck hatte, dass ich damit nicht mehr zurande komme und ich bis morgen nicht damit durchkomme...

Das verstehe ich nicht ganz. Du hast doch jetzt schon die Aufgabe gelöst und alle Ergebnisse vor Dir liegen.

06.01.2009, 21:14

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das verstehe ich nicht ganz. Du hast doch jetzt schon die Aufgabe gelöst und alle Ergebnisse vor Dir liegen.

naja - gerade schien es mir aber nicht so, als ob ich das noch schaffen würde^^

Ich hätte dann noch ein paar Fragen/AUfgaben, die ich gern abklären würde... smile

smile

$\begin{eqnarray*} D_3=[1,2] \cup \{ \frac{3n+1}{2n+1}|n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$
Menge der Häufungspunkte= $\begin{eqnarray*} [1,2] \cup \{1,5\} \end{eqnarray*}$
Menge der inneren Punkte = ]1,2[
Menge abgeschlossen, da Menge der Häufungspunkte Teilmenge der Ausgangsmenge ist.

$\begin{eqnarray*} D_2=]0,\infty[ \end{eqnarray*}$
Menge der Häufungspunkte = $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$
Menge der inneren Punkte = $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$
Menge der Häufungspunkte = Ausgangsmenge --> geschlossen

Bei folgender AUfgabe habe ich Probleme:

$\begin{eqnarray*} D_4=[0,1]\times ]0,1[ \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich daran?

06.01.2009, 21:26

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Menge D3 stimmt alles bis auf die Aussage zur Abgeschlossenheit: Die Menge ist nicht abgeschlossen, denn der Häufungspunkt 3/2 ist ja nicht Element der Menge.

Das stimmte übrigens auch bei der Menge D1 nicht, wie ich gerade sehe -- der Häufungspunkt 2 liegt nicht in D1.

Zitat:

Original von Wanderfalke

$\begin{eqnarray*} D_2=]0,\infty[ \end{eqnarray*}$
Menge der Häufungspunkte = $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$

Es gibt keine Menge „[0; unendlich]“, denn „unendlich“ ist ja keine Zahl, sondern einfach ein Symbol dafür, dass die Menge nach oben unbeschränkt ist.

Also Vorsicht mit Fausregel à la „Klammern nach innen drehen --> Häufungspunkte, Klammern nach außen --> innere Punkte“ ;-)

Wie lautet die korrekte Häufungspunktmenge?

Die Menge der inneren Punkte stimmt, die Aussage zur Abgeschlossenheit aber nicht. Die Häufungspunktmenge ist doch gar nicht Teilmenge von D2! Z. B. liegt die 0 nicht in D2.

Zitat:

Original von Wanderfalke

Bei folgender AUfgabe habe ich Probleme:

$\begin{eqnarray*} D_4=[0,1]\times ]0,1[ \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich daran?

Ihr müsstet in der Vorlesung eine Definition für „zweidimensionale Mengen“ bekommen haben!

06.01.2009, 21:36

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Ist dann bei D2 die Menge der Häufungspunkte = $\begin{eqnarray*} [0,\infty [ \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ihr müsstet in der Vorlesung eine Definition für „zweidimensionale Mengen“ bekommen haben!

Ich glaube, dass ich die noch nicht gesehen habe. Habe grade meinen Skript durchgesehen - da machen wir viel, aber nichts mit zweidimensionalen Menge...

06.01.2009, 21:40

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wanderfalke

Vielen Dank!

Ist dann bei D2 die Menge der Häufungspunkte = $\begin{eqnarray*} [0,\infty [ \end{eqnarray*}$ ?

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Wanderfalke

Zitat:

Ihr müsstet in der Vorlesung eine Definition für „zweidimensionale Mengen“ bekommen haben!

Ich glaube, dass ich die noch nicht gesehen habe. Habe grade meinen Skript durchgesehen - da machen wir viel, aber nichts mit zweidimensionalen Menge...

Komisch ...

Weißt Du denn prinzipiell, welche Menge D4 ist? Könntest Du sie in beschreibender Form angeben, also als

$\begin{eqnarray*} D_4 = \{ \ldots \,|\, \ldots \} \end{eqnarray*}$

?

06.01.2009, 21:51

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

was ic weiß ist, dass es das Kartesische Produkt ist.
Wenn man die Mengen vereinfacht in:
[0,1] = 0;0,5;1
und ]0,1[ = 0,1;0,5;0,9
müsste man doch schreiben können

$\begin{eqnarray*} D_4 = {(0;0,1),(0;0,5), (0;0,9); (0,5;0,1) ... } \end{eqnarray*}$

aber was bringt das?

06.01.2009, 22:04

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wanderfalke

Wenn man die Mengen vereinfacht in:
[0,1] = 0;0,5;1
und ]0,1[ = 0,1;0,5;0,9

verwirrt

[0; 1] ist doch die Menge aller reellen Zahlen zwischen einschließlich 0 und einschließlich 1. Wie kommst Du da jetzt auf [0; 1] = {0, 0,5, 1}? Im Intervall [0; 1] liegen doch endlos viele Zahlen, nicht nur 0, 0,5 und 1!

Auch das zweite stimmt natürlich nicht.

$\begin{eqnarray*} [0; 1] := \{x \in \mathbb{R} \,|\, 0 \leq x \leq 1 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathord{]0; 1[} := \{x \in \mathbb{R} \,|\, 0 < x < 1 \} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Wanderfalke

müsste man doch schreiben können

$\begin{eqnarray*} D_4 = {(0;0,1),(0;0,5), (0;0,9); (0,5;0,1) ... } \end{eqnarray*}$

Nein, es gilt

$\begin{eqnarray*} D_4 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2\,|\, x \in [0; 1] \ \wedge\ y \in \mathord{]0; 1[}\; \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2\,|\, 0 \leq x \leq 1\ \wedge\ 0 < y < 1 \} \end{eqnarray*}$

„Eindimensionale“ Mengen kann man auf der Zahlengeraden darstellen, „zweidimensionale“ im kartesischen Koordinatensystem. Die Menge D4 bildet dann die Rechteckfläche zwischen den Eckpunkten (0, 0), (1, 0), (0, 1) und (1, 1) -- wobei die obere und die untere Seite nicht mehr zur Menge gehören (wegen 0 < y < 1)

Die Epsilon-Umgebungen in R² müssten Kreisflächen sein:

$\begin{eqnarray*} U_{\varepsilon} ((a, b)) = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,| \, \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \varepsilon \right\} \end{eqnarray*}$

Also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Punkt (a, b) kleiner ist als die Zahl epsilon.

Dann kann man die obigen Definitionen einfach übertragen. Stelle Dir dann, wie gesagt, alles im kartesischen Koordinatensystem vor.

06.01.2009, 22:19

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich bin ja behämmert Hammer

Hammer

Hammer

aber dann wär das doch wieder ganz einfach, oder nicht?

Menge der HÄufungspunkte wäre [0,1]x[0,1]

und die inneren Punkte wären die Menge selbst: [0,1] x ]0,1[

ist das richtig?

06.01.2009, 23:52

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge der Häufungspunkte stimmt, aber die der inneren Punkt nicht. Korrekt wäre

$\begin{eqnarray*} \mathord{]0; 1[} \times \mathord{]0; 1[} = \mathord{]0; 1[} ^2 \end{eqnarray*}$

Denn zu Deiner Menge gehören auch die Punkte, die auf der linken und der rechten Seite des Rechtecks liegen -- das sind aber keine inneren Punkte.

07.01.2009, 18:00

Wanderfalke

Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich... - vielen Dank jedenfalls!!
Ihr habt mir alle sehr weitergeholfen!! smile

smile

Gott

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »