Polynom vom Spektrum?

06.01.2009, 22:37

tigerbine

Polynom vom Spektrum?

Erstmal eine Formale Frage. Sei A eine quadr. Matrix, man bezeichnet üblicherweise mit $\begin{eqnarray*} \sigma(A) \end{eqnarray*}$ das Spektrum von A, also die Menge aller Eigenwerte. Nun sei q ein komplexes Polynom. Was bedeutet dann:

$\begin{eqnarray*} q(\sigma(A)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\notin q(\sigma(A)) \end{eqnarray*}$

Danke Wink

06.01.2009, 22:41

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Rahmen der Funktionalanalysis hatten wir oft mit $\begin{eqnarray*} f(\sigma(T)) \end{eqnarray*}$ zu tun was bedeutete

$\begin{eqnarray*} f(\sigma(T)) = \{f(x) : x \in \sigma(T)\} \end{eqnarray*}$

was auch die gängige Interpretation für $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ für A eine Menge und f eine Funktion ist.

06.01.2009, 22:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Allso die Funktionswerte unter f von den Elementen der Menge? Wink

06.01.2009, 22:47

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau so, allerdings frage ich mich wieso dann $\begin{eqnarray*} 0 \not \in q(\sigma(A)) \end{eqnarray*}$ sein soll, man kann doch sogar ein komplexes Polynom wählen was genau die Eigenwerte als Nullstelle hat verwirrt

06.01.2009, 22:51

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt noch ne Aufgabe nach. q soll so ausgewählt sein, dass es gilt. Also nicht allgemein gültig. Ich wollte mich nur erst vergewissern, was die Symbolik bedeutet.

[attach]9518[/attach]

06.01.2009, 23:52

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer mag denn mit mir mal die Aufgaben rechnen? Ups

Für b) stelle ich schon mal die Matrizen ein:

$\begin{eqnarray*} A_1=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1&1 \end{pmatrix},A_1^2=\begin{pmatrix} -1 &1 \\ -1&0 \end{pmatrix},A_1^3=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0& -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_2=\begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ 0&2& -1 \\0&0&1 \end{pmatrix}, A_2^2=\begin{pmatrix} 1 &3 &-1 \\ 0&4& -3 \\0&0&1 \end{pmatrix}, A_2^3=\begin{pmatrix} 1 &7 &-4 \\ 0&8& -7 \\0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit a) kann man dann die Brüche auflösen. Die (bewiesene) Kommutativität überprüfen wir:

$\begin{eqnarray*} r(A_1)=q(A_1)^{-1}p(A_1) &&=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0&-1\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}-2-1 & 2-0 \\ -2-0 & -1 \end{pmatrix} \\&& =\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \\&& = \begin{pmatrix}-3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0&-1\end{pmatrix} \\&&=\begin{pmatrix} 3& -2 \\ 2&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r(A_2)=q(A_2)^{-1}p(A_2) &&=\begin{pmatrix} 1 &7 &-4 \\ 0&8& -7 \\0&0&1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1&6&-2 \\ 0&7&-6\\ 0 &0&1\end{pmatrix} \\&& =\begin{pmatrix} 1&-{\frac {7}{8}}&-{\frac {17}{8}} \\ 0&\frac{1}{8} &{\frac {7}{8}}\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&6&-2 \\ 0&7&-6\\ 0 &0&1\end{pmatrix} \\ && = \begin{pmatrix} 1&-{\frac {1}{8}}&{\frac {9}{8}} \\ 0&\frac{7}{8} &{\frac {1}{8}}\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(auch im umgehrten Fall)

07.01.2009, 01:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} 0 \not \in q(\sigma(A)) \end{eqnarray*}$

Bedeutet das mit anderen Worten, dass q(A) regulär ist?

07.01.2009, 03:34

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach deiner anderen Übungsaufgabe sollte es das bedeuten smile

07.01.2009, 11:34

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, bleibt hier dann die Frage wie man Teil a löst. Bei b habe ich "einfach" die Inverse bestimmt. Ausrechnen zeigt die Kommutativität. Wie muss man aber allgemein rangehen. Man wird die Inverse des Polynom q(A) doch nicht allgemein angeben können, oder? verwirrt

07.01.2009, 15:04

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist garnicht so schwer. Zeige zunächst dass

$\begin{eqnarray*} q(A)p(A) = p(A)q(A) \end{eqnarray*}$

gilt. Seien hierfür $\begin{eqnarray*} aA^n, bA^m \end{eqnarray*}$ zwei Summanden der Polynome q(A),p(A), dann ist natürlich

$\begin{eqnarray*} abA^nA^m = baA^mA^n \end{eqnarray*}$

. Der Rest ist aufschreiben. (Also im wesentlichen ausmultiplizieren, kommutieren und wieder ausklammern). Mit der Invertierbarkeit von q(A) folgt dann die Aussage.

07.01.2009, 15:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Da sage ich schon mal danke. Poste dann später. Vielleicht schaust du dann nochmal drüber. Wink

07.01.2009, 15:36

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich versuch es mal...

$\begin{eqnarray*} q(A)p(A) &&=(\sum_{j=0}^rb_jA^j)(\sum_{k=0}^sa_kA^k)\\&&=\sum_{j=0}^r\sum_{k=0}^sb_jA^ja_kA^k \\&&=\sum_{j=0}^r\sum_{k=0}^sb_ja_kA^jA^k \\&&=\sum_{j=0}^r\sum_{k=0}^sa_kb_jA^kA^j \\&&=\sum_{j=0}^r\sum_{k=0}^sa_kA^kb_jA^j \\ &&=\sum_{k=0}^s\sum_{j=0}^ra_kA^kb_jA^j \\&& =(\sum_{k=0}^sa_kA^k)(\sum_{j=0}^rb_jA^j) \\&&=p(A)q(A) \end{eqnarray*}$

07.01.2009, 15:49

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso hät ichs auch gemacht Augenzwinkern

07.01.2009, 15:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Neue Frage »

Antworten »

Polynom vom Spektrum?

Verwandte Themen