Komplexe Gleichung

07.01.2009, 14:56

ESP

Komplexe Gleichung

Hallo,

habe folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} z^{2}-2(1-j)z+3+2j=0 \end{eqnarray*}$ hier muss ich die lösung bestimmen.

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}= 1-j \pm \sqrt{(1-j)^{2}-3-2j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}= 1-j \pm \sqrt{1-2j+j^{2}-3-2j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}= 1-j \pm \sqrt{j^{2}-2-4j} \end{eqnarray*}$

j1=4.449...
j2=-0.449...

Das passt überhaupt nicht unglücklich

, denn ich habe schon ergebnisse:

z1 = j ; z2 = 2 – 3j

und mit meine j ergebnissen komme ich nie drauf

danke voraus

07.01.2009, 15:04

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} j^2-2-4j=-3-4j=-(3+4j)=-(4+4j+j^2) \end{eqnarray*}$

07.01.2009, 15:20

ESP

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WIE KOMMST DU AUF DIE lETZTE GLEICHUNG?

-(4+4j+j^2) ?

07.01.2009, 17:16

ESP

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Hilft mir denn wirklich keiner? verwirrt

07.01.2009, 18:16

tmo

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} j^2 \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2009, 18:34

mYthos

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Keine Großbuchstaben in ganzen Sätzen, das wird nämlich als Schreien empfunden und dann wundere dich nicht, wenn keiner mehr antworten will!

mY+

08.01.2009, 15:25

ESP

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Na wenn grossbuchstaben als schreien hier verstanden werden, dann werde ich in der zukunft nur klein schreiben geschockt

$\begin{eqnarray*} j^{2} =-1 \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2009, 15:39

mYthos

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Ja! Denn dies entspricht genau der Definition der imaginären Einheit!
Und:
Du weisst ganz genau, wie das mit den Großbuchstaben gemeint ist, ja? Tu nicht so unschuldig! Big Laugh

mY+

08.01.2009, 16:33

ESP

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Ich gebe zu, da war etwas Ironie bei Big Laugh

Unsere Professorin hat uns eine Woche vor der Klausur ganz allein mit Komplexen zahlen gelassen, muss man halt sich selbst beibringen.

Ich habe noch einen bsp:

$\begin{eqnarray*} z^{2} +2(1-\frac{j}{2} )z-5-j=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=-1+\frac{j}{2}\pm \sqrt{( \frac{j}{2} -1)^2+5+j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=-1+\frac{j}{2}\pm \sqrt{ \frac{j^{2}}{4} -j+1+5+j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=-1+\frac{j}{2}\pm \sqrt{ \frac{j^{2}}{4}+6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=-1+\frac{j}{2}\pm \sqrt{ j^{2}+24} \end{eqnarray*}$

und da passe ich wieder...

08.01.2009, 16:48

mYthos

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Das versteh' ich nicht, wieso du ausgerechnet da wieder hängst. Wir sagten doch gerade, $\begin{eqnarray*} j^2 = -1 \end{eqnarray*}$ !!

Aber noch was anderes: Wohin sind die 4 unter der Wurzel geraten? Doch nicht ins Nirvana!

mY+

08.01.2009, 16:59

ESP

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ja okay, habe mich verschrieben.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{23}{4} } \end{eqnarray*}$

bekommt man da raus und weiter? irgendwas muss da noch kommen...

08.01.2009, 17:25

mYthos

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ja und? Die Wurzel ist doch eh reell, vereinige das mit der 1 vorne und die Lösungen stehen schon da.

mY+

08.01.2009, 17:50

ESP

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danke,

ich sehe gerade auch dass ich die aufgabe etwas falsch abgeschrieben habe und deswegen nicht auf das richtige kam, danke aber trotzdem!!!!

Gott

08.01.2009, 18:13

ESP

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Kriege unter dem wurzel folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{15}{4} -2j} \end{eqnarray*}$

habe versucht es wie tmo in seinem beispiel zu machen,

klappte aber nicht:

$\begin{eqnarray*} -(j^{2}-\frac{11}{4} +2j) \end{eqnarray*}$

08.01.2009, 21:00

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{15}{4} -2j} = \frac{1}{2} \sqrt{15 - 8j} = \frac{1}{2} \sqrt{(4-j)^2} = \frac{1}{2} (4-j) \end{eqnarray*}$

mY+

08.01.2009, 23:32

ESP

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mythos danke erstmal,

aber sag mal, wie soll man als normalsterblicher dadrauf kommen?! Hammer

09.01.2009, 17:09

mYthos

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Man muss jedenfalls aus $\begin{eqnarray*} 15 - 8j \end{eqnarray*}$ die Wurzel ziehen. Entweder hat man nun den "scharfen Blick" (15 ist 16 weniger 1, 16 ist das Quadrat von 4 und das Mittelglied daher 2*4 = 8, passt) oder du siehst das nicht, dann "bestraft dich das Leben" und du musst eben die Wurzel rechnerisch bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{15 - 8j} = a + jb \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15 - 8j = a^2 - b^2 +2abj \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ab = -8 \end{eqnarray*}$
------------------------

Da nach a, b auflösen ... (eine Lösg. a =4; b = -1)

mY+

10.01.2009, 14:00

ESP

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Okay,

Jetzt kommt noch ne kleine Steigerung:

$\begin{eqnarray*} z^{4}+(3-5j)z^{2}-10-5j=0 \end{eqnarray*}$

jetzt folgt eine substitution:

$\begin{eqnarray*} z^{2}=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^{2}+(3-5j)u-10-5j=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1/2}=-\frac{3}{2} +\frac{5j}{2} \pm \sqrt{6-\frac{5j}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1/2}=-\frac{3}{2} +\frac{5j}{2} \pm \frac{1}{4} \sqrt{3-5j } \end{eqnarray*}$

weiter was ich mitbekommen habe muss man koordinatensystem wechseln und unter dem wurzel muss man da irgendwas mit e^ bekommen.

mfg

10.01.2009, 21:05

ESP

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einmal push!

11.01.2009, 00:27

GuestS

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} \sqrt{15 - 8j} = a + jb \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15 - 8j = a^2 - b^2 +2abj \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ab = -8 \end{eqnarray*}$
------------------------

Da nach a, b auflösen ... (eine Lösg. a =4; b = -1)

Ich lerne grade ... sorry, dass ich hier so reinplatze, aber kann ich dann wirklich sagen: $\begin{eqnarray*} \sqrt{15 - 8j} = 4 - j \end{eqnarray*}$ ????
Oder hab ich das grade falsch verstanden?

11.01.2009, 01:01

mYthos

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Ich habe geschrieben: EINE Lösung, es gibt noch eine zweite. Du kannst sofort die Probe machen, wenn du daran zweifelst, berechne doch $\begin{eqnarray*} (4 - j)^2 \end{eqnarray*}$ ! $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist hier die imaginäre Einheit (meist wird diese mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ bezeichnet).

@ESP
Du kannst die Wurzel analog zu dem anderen Beispiel bestimmen, oder du verwendest die Exponentialschreibweise (e-Potenz). Mit "irgendwas mit e^" wirst du aber nicht weit kommen, da musst du dich schon etwas mehr bzw. näher informieren!
Übrigens ist in der letzten Zeile der Radikand falsch, statt 3 gehört dort 12. Dann kommt beim Wurzelziehen aus 12 - 5j für a = $\begin{eqnarray*} \frac{5\sqrt2}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = \frac{\sqrt2}{2} \end{eqnarray*}$

mY+

11.01.2009, 13:07

Max Simon

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Aber wie kann ich auf diese Art bestimmen, was $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ ist?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i} = a + ib \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} i = a^{2}-b^{2} + 2abi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I a^{2} - b^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II 2ab = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II ==> b = \frac{1}{2a} \end{eqnarray*}$

b in I: $\begin{eqnarray*} a^{2} - (\frac{1}{2a})^{2} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2} - \frac{1}{4a^{2}} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{4} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2}1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{2}2 = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a1 = \frac{1}{\sqrt{2}} = b2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a2 = -\frac{1}{\sqrt{2}} = b1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a3 = i\frac{1}{\sqrt{2}} = b4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a4 = -i\frac{1}{\sqrt{2}} = b3 \end{eqnarray*}$

Die Schlussfolgerung auf b1-4 folgt aus
$\begin{eqnarray*} a^{2} - b^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a1 = b, a2 = -b \end{eqnarray*}$

Kann das sein??? Wurzel i klingt so einfach und dann kommen da so viele Lösungen bei raus?

11.01.2009, 14:07

mYthos

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Es sind hier nur zwei Lösungen relevant, denn a, b müssen reell sein, weil sie ja selbst nur Komponenten einer komplexen Zahl sind (in der komplexen Zahl a + bi sind a, b definitionsgemäß reell). Somit ergeben sich a1, a2 bzw. b1, b2 und diese sind richtig.

Alternativ (und schneller) kann i geschrieben werden als

$\begin{eqnarray*} i = e^{i (\frac{\pi}{2} + 2k \pi)} \end{eqnarray*}$

Das Wurzelziehen durch Division des Exponenten und Setzen von k = 0 oder 1 bringt ebenfalls die beiden Lösungen (diese unterscheiden sich bei dieser Aufgabe nur durch das Vorzeichen).

Dazu musst du wissen, dass $\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \end{eqnarray*}$ (Euler'sche Relation) gilt. Ein allfälliger Betrag (Zeigerlänge) kommt als Faktor davor.

mY+

11.01.2009, 15:00

ESP

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Okay,

ich habe so wie du es vorgemacht gerechnet, bin auch auf das gleich wie du gekommen,

mal 1/12 genommen und+/- den ausdruck davor.Jetzt habe ich 2 Ergebnisse. DIe sehen nicht allzuschon aus.

Man muss jetzt normaleweise auch daraus ein wurzel ziehen? Und da hapert es.

mfg

11.01.2009, 15:07

ESP

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Sorry habe es mal 1/4 genommen

11.01.2009, 15:20

mYthos

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Weiteres Wurzelziehen ist im Moment nicht notwendig, denn jetzt kannst du die Summen bilden, nach Real- und Imaginärteil getrennt. Zum Schluss kann man die Wurzel entweder stehen lassen (algebraische Lösung) oder eben auch ausrechnen (mit dem TR, numerisches Resultat).

mY+

11.01.2009, 15:41

ESP

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Zitat:

Original von mYthos
Weiteres Wurzelziehen ist im Moment nicht notwendig, denn jetzt kannst du die Summen bilden, nach Real- und Imaginärteil getrennt. Zum Schluss kann man die Wurzel entweder stehen lassen (algebraische Lösung) oder eben auch ausrechnen (mit dem TR, numerisches Resultat).

mY+

vielen danke erst mal,

Klingt gut, mit summen bilden meinst du wohl u_1 und u_2 ausrechnen,

dann $\begin{eqnarray*} a+bj \end{eqnarray*}$ trennen? WIe soll das gehen? Kannst du bitte ein kleines Bsp machen, damit ich genau weiß was zutun ist. Morgen ist schon die Klausur.

gruss

11.01.2009, 16:04

mYthos

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Für die u-Werte musst du so wie beschrieben verfahren.
Und dann haben wir erstmal diese u-Werte. Hast du diese bis jetzt vollständig berechnet?

Es ist

$\begin{eqnarray*} u_1 = -4 + 3j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_2 = 1 + 2j \end{eqnarray*}$

Tja, nun muss eben jeweils daraus nochmals die Wurzel gezogen werden!
Eine (von den insgesamt vieren) verrate ich dir

$\begin{eqnarray*} z_{..} = \frac{\sqrt2}{2} + \frac{3\sqrt2}{2} i \end{eqnarray*}$

Das andere ist deine Agenda.

mY+

11.01.2009, 17:05

GuestS

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Zitat:

Original von mYthos
Ich habe geschrieben: EINE Lösung, es gibt noch eine zweite. Du kannst sofort die Probe machen, wenn du daran zweifelst, berechne doch $\begin{eqnarray*} (4 - j)^2 \end{eqnarray*}$ ! $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist hier die imaginäre Einheit (meist wird diese mit $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ bezeichnet).

......

mY+

ok, dann meine ich eben: $\begin{eqnarray*} \sqrt{15-8j} = 4+j \end{eqnarray*}$ .. und .. $\begin{eqnarray*} \sqrt{15-8j} =-4+j \end{eqnarray*}$

__________________________________Meine Rechnung:

Deine 1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 - 15 = 0 \end{eqnarray*}$
Deine 2. Gleichung: $\begin{eqnarray*} ab = -4 \Rightarrow a= - \frac{4}{b}\Rightarrow a^2= \frac{16}{b^2} \end{eqnarray*}$

Ineinander eingesetzt: $\begin{eqnarray*} \frac{16}{b^2} - b^2 - 15 = 0 \Rightarrow b^4 + 15b^2 - 16 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2 = z:\Rightarrow z^2 + 15z - 16 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1/2} = -\frac{15}{2}\pm \sqrt{\frac{225}{4}+16} = -\frac{15}{2}\pm \frac{17}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2}=-16 \end{eqnarray*}$
wegen : $\begin{eqnarray*} b = \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ kommt aber nur ein Ergebnis raus: $\begin{eqnarray*} b_{1}= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a= \pm 4 \end{eqnarray*}$

so, jetzt siehst du, wie ich auf mein Ergebnis komme?? Wo liegt der Fehler? Ich finde ihn nicht!

11.01.2009, 17:07

GuestS

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bei mir gibts da wirklich NUR diese eien Lösung: $\begin{eqnarray*} \sqrt{15-8j} =-4+j \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 19:44

mYthos

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Zitat:

Original von GuestS
...
ok, dann meine ich eben: $\begin{eqnarray*} \sqrt{15-8j} = 4+j \end{eqnarray*}$ .. und .. $\begin{eqnarray*} \sqrt{15-8j} =-4+j \end{eqnarray*}$

Nein, das stimmt nicht.

$\begin{eqnarray*} a = \pm 4 \text{ und } b = \pm 1 \end{eqnarray*}$ , die Lösungen sind daher

$\begin{eqnarray*} 4+j \text{ und } -4-j \end{eqnarray*}$
------------------------

Deine Rechnung stimmt sonst so weit, nur hast du nicht zu Ende gerechnet. Du musst noch

$\begin{eqnarray*} a = \pm 4 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a^2b^2=16 \end{eqnarray*}$ einsetzen, ->

$\begin{eqnarray*} b^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \pm 1 \end{eqnarray*}$

mY+

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