Beweis spezieller Grenzwerte

07.01.2009, 15:03

Natalie1988

Beweis spezieller Grenzwerte

Hallo. Ich habe eine solche Aufgabe und weiß nicht, wie ich sie lösen soll. Danke für eure Hilfe!!!

limes (für n gegen unendlich) $\begin{eqnarray*} \frac{n^k}{a^n} \end{eqnarray*}$ = 0 (a>1)

und

limes (für n gegen unendlich) $\begin{eqnarray*} \frac{a^n}{n!} \end{eqnarray*}$ = 0

Vielen Dank!!! =)

07.01.2009, 15:11

tmo

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Kennst du schon $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$ ?

Dann könntest du beim ersten Beispiel so vorgehen:

Aus dem Grenzwert folgt für festes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{k+1}}=1 \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} a > 1 \end{eqnarray*}$ :

Es ist wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^{k+1}}=1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n^{k+1}}<a \end{eqnarray*}$ für hinreichend große n.

Nun kann man durch Umformen eine Nullfolge finden, die Majorante von $\begin{eqnarray*} \frac{n^k}{a^n} \end{eqnarray*}$ ist.

Zum zweiten Beispiel:
Du könntest Zähler und Nenner jeweils aufteilen in die ersten (endlich vielen) a Faktoren und den Rest.

Falls du schon Reihen hattest, kannst du auch ganz raffiniert sein und das Quotientenkriterium auf $\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 0} \frac{a^n}{n!} \end{eqnarray*}$ anwenden Augenzwinkern

07.01.2009, 15:23

Natalie1988

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Kann ich das einfach annehmen, dass limes n-ten Wurzel aus n = 1 ist?

Und was ist eine Majorante? Das hatten wir noch nicht gehabt.

den Ansatz zur b) habe ich noch nicht ganz verstanden. Soll ich da a*a*...*a machen? Und n! strebt doch gegen unendlich?

07.01.2009, 15:39

tmo

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Zitat:

Original von Natalie1988
Kann ich das einfach annehmen, dass limes n-ten Wurzel aus n = 1 ist?

Nein, natürlich nicht. Wenn ihr das noch nicht bewiesen habt, darfst du es auch nicht verwenden. Dann vergiss den Ansatz, dann machen wir es eben anders.

Zitat:

Original von Natalie1988
Und was ist eine Majorante? Das hatten wir noch nicht gehabt.

Wenn $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist und es gilt $\begin{eqnarray*} 0<a_n<b_n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ klarerweise auch eine Nullfolge. Genau das wollte ich ausnutzen und das werden wir auch bei dem anderen Ansatz ausnutzen.

Wir zeigen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n}{a^{\frac{n}{k}}} = 0 \end{eqnarray*}$ . Weil k endlich ist, folgt daraus die Behauptung, indem man zur k-ten Potenz erhebt.

Mache dir klar, dass $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{k}}>1 \end{eqnarray*}$ gilt und somit auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{\frac{1}{k}}}>1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{\frac{1}{k}}}=1+h \end{eqnarray*}$ mit irgendeinem $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{\frac{n}{k}}}=(1+h)^n \geq 1+nh > nh \end{eqnarray*}$ nach der bernoullischen Ungleichung.
Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} a^{\frac{n}{k}}>n^2h^2 \end{eqnarray*}$

Kannst du nun weitermachen? Es geht wieder um eine Majorante.

07.01.2009, 17:26

Natalie1988

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Wir zeigen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n}{a^{\frac{n}{k}}} = 0 \end{eqnarray*}$ . Weil k endlich ist, folgt daraus die Behauptung, indem man zur k-ten Potenz erhebt. Bitte erkläre mir den Schritt. Weil k endlich ist?

Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{\frac{n}{k}}}=(1+h)^n \geq 1+nh > nh \end{eqnarray*}$ nach der bernoullischen Ungleichung.
Kann ich die Potenz "n" einfach so in die Wurzel ziehen??

Und wegen dem, wie es weitergeht: muss das nicht heißen, dass a^(n/k) <n^2h^2, damit man die "Majore" anwenden kann?

07.01.2009, 18:43

tmo

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Aus den Grenzwertsätzen folgt doch für $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n^k = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot a_n \cdot a_n \dotsb a_n = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} a_n \dotsc \lim_{n \to \infty} a_n = (\lim_{n \to \infty} a_n)^k \end{eqnarray*}$

Wenn man also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n}{a^{\frac{n}{k}}} = 0 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten zur k-ten Potenz erhebt, erhält man:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\frac{n^k}{a^{n}}=\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{a^{\frac{n}{k}}}\right)^k = (\lim_{n \to \infty}\frac{n}{a^{\frac{n}{k}}})^k = 0^k=0 \end{eqnarray*}$

07.01.2009, 23:11

Natalie1988

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Entschuldigung, dass ich immer so doof frage.. im Nachhinein verstehe ich das immer

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