Konvergierung überprüfen

07.01.2009, 16:23	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergierung überprüfen hallo ich habe eine frage, wie überprüft man, ob eine funktion punktweise und gleichmäßig konvergiert?? kann mir das einer erklären?? beispiel: konvergiert diese fuktion auf $\begin{eqnarray} X=[-1,1] \end{eqnarray}$ punktweise oder gleichmäßig?? $\begin{eqnarray} f_n(x)= \frac{1}{1+nx²} \end{eqnarray}$
07.01.2009, 18:50	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet denn die Grenzfunktion? Ist diese stetig? Es lautet übrigens Konvergenz. Konvergierung hört sich fürchterlich an
07.01.2009, 20:44	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz überprüfen ja stimmt die überschrift hört sich blöd an ich weiss nicht ob sie stetig ist
07.01.2009, 22:31	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte daran liegen, dass du sie noch gar nicht bestimmt hast
07.01.2009, 22:48	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt, über stetigkeit weiss ich das eine funktion dann stetig, wenn sie in den funktionswerten keine sprünge aufweisen, aber wie zeige ich das in dieser funktion, weil ich hatte bisher kein n in der funktion ??
07.01.2009, 22:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vergessen wir das erstmal mit der Stetigkeit. Wir müssen ganz vorne anfangen. Es geht erstmal darum die Grenzfunktion von $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ zu bestimmen, d.h. zu bestimmen gegen welche Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ punktweise konvergiert. Wie ist denn punktweise Konvergenz definiert?
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07.01.2009, 23:04	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
also punktweise konvergenz heisst: das die eigenschaft einer Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ für jedes element x des definitionsbereich $\begin{eqnarray} D_f \end{eqnarray}$ gegen den grenzwert einer funktion f(x) zu konvergieren, also $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f_n (x)= f(x) \forall x \in \mathbb D_n \end{eqnarray}$ und man schreibt es: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f_n (x)= f(x) \end{eqnarray}$ punktweise und gleichmäßige konvergenz ist die Eigenschaft einer Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ , mit einer Geschwindigkeit gegen eine Grenzfunktion f zu konvergieren.
08.01.2009, 20:42	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm wie kann ich denn jetzt diese definitionen hier anwenden?
09.01.2009, 21:03	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir einer nochmal bitte helfen
12.01.2009, 00:11	crazyy	Auf diesen Beitrag antworten »
so also, soll ich das jetzt so machen das ich für die funktion einmal 1 und einmal -1 einsetze??? wenn ich 1 einsetze heisst es, dass die funktion gegen +0 und bei -1 auch gegen +0 konvergiert, aber wie überprüfe ich jetzt ob sie punktweise und gleichmässig konvergiert
12.01.2009, 09:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergierung überprüfen Du bestimmst einfach für ein beliebiges aber festes x aus [-1, 1] den Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}~f_n(x) \end{eqnarray}$ . Damit weißt du, gegen welche Funktion f_n(x) punktweise konvergiert.

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