Grenzwertberechnung mit Hilfe der Potenzreihendarstellung

07.01.2009, 16:50

Laky

Grenzwertberechnung mit Hilfe der Potenzreihendarstellung

Hallo,
ich glaube meine Denkfähigkeit ist eingefroren, komme nicht weiter bei folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sinh x}{x} \end{eqnarray*}$

es gilt ja:
$\begin{eqnarray*} sinh = \frac{1}{2} *(exp(x)-exp(-x)) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} exp(x) = \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{(-x)^n}{n!} \end{eqnarray*}$

wenn ich das nun in die Funktion eingebe folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} [\sum_{n=0}^\infty ~\frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^\infty ~ \frac{(-x)^n}{n!} ] \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, jetzt bin ich aber ratlos, wie ich die Potenzreihen weiter zusammenfassen kann!? Gibt es irgendwelche Gesetzmäßigkeiten?

Vielen Dank!
Lg und ein verspätetes frohes Neues Augenzwinkern

, Laky

07.01.2009, 17:04

Airblader

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Schreibe dir doch mal die ersten Summanden auf. Du siehst dann, dass sich welche aufheben und andere sich addieren.
Damit fasst du die Reihen zusammen. Die Division durch x ist dann auch problemlos durchführbar und nach einer minimalen Umformung kommst du dann auch auf den Grenzwert.

air

07.01.2009, 17:51

Laky

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Hm...

ich weiß, dass bei sie die Summen geraden n's wegkürzen, aber das bringt mich auch nicht weiter. Ich kann ja nicht in Fälle unterscheiden, sprich Fall 1: n gerade und Fall 2: n ungerade, denn ich muss ja nachher den Grenzwert machen...
Ich brauch noch einen Tipp Gott

07.01.2009, 18:01

Laky

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ok, stopp, ich hab die Lösung.
Da sich sich die Summen bei geraden n'S "wegkürzen" bleiben nur noch die Reihenglieder der ungeraden n's. Wenn ich dann n=2k+1 setze hab ich ja nur die ungeraden n's. Da dann jedes Glied, bis auf das erste, gegen 0 läuft für x-->0, das erste Glied (=x) geteilt durch x = 1 ist, ist der Grenzwert 1!
(Ich hoffe man kann meine Gedankengänge nachvollziehen!)

Danke schön smile

07.01.2009, 18:17

Airblader

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Ich hätte so argumentiert:

Wie du sagtest, für gerade n heben sich die Glieder auf. Für ungerade summieren sie sich gerade zum doppelten.
Es ist also

$\begin{eqnarray*} \frac12 \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}\right) = \frac12 \sum_{n=0}^\infty 2\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{n!} =: A(x) \end{eqnarray*}$

Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{A(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{n!} = \lim_{x \to 0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(x^2)^n}{n!} = \lim_{x \to 0} \exp(x^2) = 1 \end{eqnarray*}$

(Zusatz: Das A(x) habe ich nur genommen, weil ich schreibfaul bin Augenzwinkern

)

air

07.01.2009, 21:23

Ungewiss

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Hallo zusammen

Zitat:

Original von Airblader

$\begin{eqnarray*} \frac12 \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}\right) = \frac12 \sum_{n=0}^\infty 2\cdot \frac{x^{2n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

Kann mir damit vielleicht jemand auf die Sprünge helfen? Ich würde das nämlich so machen, wie laky es vorgeschlagen hat. Ich verstehe nämlich auch nicht, weshalb die Gleichung da oben stimmt.

$\begin{eqnarray*} \frac12 \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x)^n}{n!}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x+ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

08.01.2009, 00:37

Airblader

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Oh .. ja, sie stimmt nämlich nicht. Den Nenner habe ich vollkommen ignoriert. geschockt

air

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