Grenzwert einer Funktion

07.01.2009, 17:57

FrankyHill

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Grenzwert einer Funktion

Hallo, habe hier 2 Aufgaben und auch die Lösungen dazu. Beide sehen recht ähnlich aus aber sind im Buch ganz verschieden berechnet. Bringt mich ein wenig durcheinander. Wie löse ich diese am besten. Also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{x^{2}-9 }{x+3} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x \neq -3 \end{eqnarray*}$

Als Lösung steht da $\begin{eqnarray*} \frac{0}{5} = 0 \end{eqnarray*}$ das heißt ich setze einfach für jedes x = 3 und bekomme so das Ergebnis.

In der zweiten Aufgabe die sehr ähnlich aussieht werden allerdings erst die Ableitungen gebildet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

im Buch ist als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{1} = 2 \end{eqnarray*}$ angegeben.

Woher weiß ich wie so etwas berechnet wird.

Mfg Franky

07.01.2009, 17:59

Zizou66

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Wende die 3. binomische Formel auf die Zählerterme an! Dann kannst du kürzen.

Beim ersten meinst du wohl

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -3} \frac{x^{2}-9 }{x+3} \end{eqnarray*}$ .

07.01.2009, 18:07

FrankyHill

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Also das sieht dann so aus

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{x^{n}-9}{x+3} \end{eqnarray*}$

ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{(x+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 3} (x-3) = (3-3)= 0 \end{eqnarray*}$

Zu deiner Frage: Beim ersten steht dahinter das x ungleich -3 sein soll.

07.01.2009, 18:09

Q-fLaDeN

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RE: Grenzwert einer Funktion

Zitat:

Original von FrankyHill
In der zweiten Aufgabe die sehr ähnlich aussieht werden allerdings erst die Ableitungen gebildet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

im Buch ist als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{1} = 2 \end{eqnarray*}$ angegeben.

Das sieht stark nach L'Hospital aus, kennst du die Regeln von L'Hospital?

Ansonsten den Trick von Zizou66 anwenden

07.01.2009, 18:10

FrankyHill

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Eine weitere Aufgabe. Wie wird diese berechnet.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^{3}-4x} \end{eqnarray*}$

07.01.2009, 18:13

Q-fLaDeN

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Klammere x im Nenner aus und Wende anschließend die 3. binomische Formel an.

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07.01.2009, 18:15

Zizou66

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Zitat:

Original von FrankyHill
Zu deiner Frage: Beim ersten steht dahinter das x ungleich -3 sein soll.

Wenn dort steht $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 3} \end{eqnarray*}$ , dann kannst du das doch auch gleich berechnen. Ohne irgendetwas zu kürzen oder so. Einfach 3 einsetzen. Es gibt auch gar keinen Grund dann den Grenzwert zu berechnen. Bei $\begin{eqnarray*} x\to -3 \end{eqnarray*}$ wäre das echt sinnvoller.

07.01.2009, 18:25

FrankyHill

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Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} x \frac{(x-2)}{x(x+2)(x-2)}= \lim_{x \to 2} x (x+2) = \lim_{x \to 2} (x^{2}+2 )=6 \end{eqnarray*}$

stimmt das so??

07.01.2009, 18:28

Q-fLaDeN

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Nein.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^{3}-4x} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x(x-2)(x+2)} \end{eqnarray*}$

Wenn du hier kürzt, dann bleibt der Bruch schon stehen und verschwindet nicht auf mysteriöse Art und Weise Augenzwinkern

Augenzwinkern

Außerdem hast du im 1. Schritt ein x vorm Bruch zu viel, ich vermute aber das war nur ein Schreibfehler. Die letzte Gleichheit ist auch falsch, du hsat falsch ausmultipliziert.

07.01.2009, 18:31

FrankyHill

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Versteh ich nicht so ganz :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x(x+2)} \end{eqnarray*}$

meinst du das so??

07.01.2009, 18:32

Q-fLaDeN

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Ja, jetzt hast du richtig gekürzt.

07.01.2009, 18:37

FrankyHill

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Also kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ raus.

HAbe mir grad mal die Regel von L´Hospital angesehen. Dort wird doch mit den Ableitungen gearbeitet soweit ich das verstehe. Wäre folgende Aufgabe damit zu berechnen oder gibt es bessere Wege?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln x}{x^{2}-1 } \end{eqnarray*}$

07.01.2009, 18:43

FrankyHill

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Kommt da dann $\begin{eqnarray*} 2 x^{2} = 2 \end{eqnarray*}$ raus???

07.01.2009, 18:45

Q-fLaDeN

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Ja damit könnte man diese Aufgabe rechnen. Und das ist mMn in dem Falle auch der schnellste Weg. Man kann aber so gut wie jeden Grenzwert auch ohne L'H berechnen.

Hier z. B. mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x = 1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Den Limes muss man natürlich auch mit substituieren.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x^{2}-1 } = \lim_{n \to \infty}~\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{(1+\frac{1}{n})^2-1} \end{eqnarray*}$

Probiers mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

\Edit
Nein, 2 ist falsch. Es müsste außerdem $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 1} 2 x^{2} = 2 \end{eqnarray*}$ lauten, sonst wäre es doppelt falsch.

07.01.2009, 18:48

FrankyHill

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ERROR!!!

07.01.2009, 19:06

Q-fLaDeN

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Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}~x = 1 = \lim_{n \to \infty}~1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Aufgrund der Gleichheit darf man das eine durch das andere ersetzen. Wo kommst du jetzt bei den nächsten Schritten nicht weiter?

Du solltest vllt. noch wissen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\left(1+\frac 1 n\right)^n = e \end{eqnarray*}$

07.01.2009, 19:11

FrankyHill

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Würde gern bei L´Hospital bleiben. Also so wie ich das verstehe wende ich dies bei Funktionen an die zunächst unbestimmt sind, wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{ln x}{x^{2}-1} \Rightarrow \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Um dies zu lösen werde zunächst Zähler und Nenner nach x differenziert und anschließend der Grenzwert für

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to x_0} \frac{f´(x)}{g´(x)} \end{eqnarray*}$

berechnet. Ist dieser vorhanden , so ist er gleich dem gesuchten Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$

Zu meiner Aufgabe oben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)= x^{2}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f´(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g´(x)= 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{f´(x)}{g´(x)} = \frac{\frac{1}{x} }{2x} = x * 2x = 2x^{2} \end{eqnarray*}$

Komm ich schon wieder auf 2?? Was mach ich den falsch?

07.01.2009, 19:18

Q-fLaDeN

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Du löst ganz einfach den Doppelbruch am Ende falsch auf.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} }{2x} = \lim_{x \to 1} \frac 1 x \cdot \frac 1 {2x} = \lim_{x \to 1} \frac 1 {2x^2} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Man kann natürlich auch gleich den Grenzübergang durchführen, da kein unbestimmter Ausdruck entsteht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} }{2x} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

\Edit
Warum schreibst du $\begin{eqnarray*} f^4(x) \end{eqnarray*}$ ?

07.01.2009, 19:24

FrankyHill

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Haste recht. Schön blöd von mir!! Kehrwert ...blablabla!! Warum da bei f(x) irgendwas mit hoch 4 steht weiß ich auch nicht. Sollte eigentlich nen Strich sein, für die 1.Ableitung. Na ja, ansonsten scheint es aber nicht ganz falsch zu sein. :-)

Danke schön für die Hilfe!

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