Rekursionsformel als allgemeiner Summe darstellen

07.01.2009, 18:08

Duedi

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Rekursionsformel als allgemeiner Summe darstellen

Hallo!

Bin auf folgendes Problem gestoßen: Ausgehen von der Rekursionsformel zur Berechnung der Integrale vom potenzierten Sinus,

$\begin{eqnarray*} \int\sin^n t~ dt = -\frac{1}{n}\cdot\sin^{n-1}t\cdot \cos t ~+~ \frac{n-1}{n}\cdot\int\sin^{n-2}t~ dt \end{eqnarray*}$ ,

möchte ich diese Formel für allgemeine n (gerade) als Summe darstellen, also evtl in der Form

$\begin{eqnarray*} \int\sin^n t~dt = \sum_k T(k) \sin^{a(k)} t \cdot S(k) \cos^{b(k)} t \end{eqnarray*}$ .

T, S, a und b sind beliebige, von k (also dem Laufindex) abhängige Werte.

07.01.2009, 18:13

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RE: Rekursionsformel als allgemeiner Summe darstellen
Als erstes fällt ins Auge, dass die Trennung in zwei Faktoren $\begin{eqnarray*} T(k) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S(k) \end{eqnarray*}$ ziemlich unsinnig ist - ein Faktor reicht.

Na nimm das doch als Ansatz und stelle erstmal durch Koeffizientenvergleich Rekursionsformeln für diese $\begin{eqnarray*} T(k) \end{eqnarray*}$ etc. auf.

07.01.2009, 18:19

Duedi

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Die Trennung der Faktoren ist natürlich Blödsinn, ich wollte nur verdeutlichen, dass im Laufe der rekursiven Berechnung sowohl beim Sinus als auch beim Cosinus Brüche auftauchen. Bezüglich deines Tipps bitte ich dich um mehr Ausführlichkeit, ich habe leider nicht viel Erfahrung mit sowas.

07.01.2009, 18:32

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Wenn du dir das ganze nochmal genauer ansiehst, dann merkst du, dass der Ansatz

$\begin{eqnarray*} \int\sin^n t~dt = \sum_{k=0}^{n-1} T_n(k) \sin^k(t) \cos(t) \end{eqnarray*}$

etwas präziser und auch vollkommen ausreichend ist. Durch Einsetzen in deine Rekursion

$\begin{eqnarray*} \int\sin^n t~ dt = -\frac{1}{n}\cdot\sin^{n-1}t\cdot \cos t ~+~ \frac{n-1}{n}\cdot\int\sin^{n-2}t~ dt \end{eqnarray*}$ ,

und Koeffizientenvergleich kannst du Rekursionsgleichungen für die $\begin{eqnarray*} T_n(k) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von den $\begin{eqnarray*} T_{n-2}(k) \end{eqnarray*}$ aufstellen. Dann bist du zumindest erstmal das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ los...

07.01.2009, 18:33

Duedi

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Ja aber verschiebt sich damit mein Problem nicht nur? Dann habe ich ja keine generelle Formel für $\begin{eqnarray*} T_n(k) \end{eqnarray*}$ , sondern wieder nur eine umständliche Rekursion, sodass ich für n=16 den Term erstmal für alle geraden kleineren Zahlen berechnen muss.

07.01.2009, 18:45

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Dann wiederhole ich nochmal mein letztes EDIT:

Dann bist du zumindest erstmal das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ los. Und die Rekursionsgleichungen für die $\begin{eqnarray*} T_n(k) \end{eqnarray*}$ kannst du dann in explizite Darstellungen mit Hilfe irgendwelcher Fakultäten darstellen.

Zitat:

Original von Duedi
Ja aber verschiebt sich damit mein Problem nicht nur?

Nicht meckern, sondern bessere Vorschläge bringen.

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07.01.2009, 18:49

Duedi

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Tut mir Leid, das sollte nicht als Meckern gemeint sein. Mein Problem ist jetzt, dass mir der Begriff "explizit" in diesem Zusammenhang beispielsweise überhaupt nichts sagt. Wie komme ich auf diese Form? Mir fehlt einfach völlig der Ansatz.

07.01.2009, 19:15

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Was ich hier schon oft - und jetzt auch bei dir - festgestellt habe, dass zu früh nach Hilfe geschrien wird, statt erstmal die Endergebnisse für die ersten paar $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , also n=1,2,3,4 soweit es nötig ist, anzusehen und daraus für allgemeine $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zu lernen...

07.01.2009, 20:05

Duedi

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Für k=0 scheint es kein $\begin{eqnarray*} T_n(k) \end{eqnarray*}$ zu geben, da nach deiner Formel immer ein Cosinus auftaucht (für k=0 dort aber ein schlichtes t sein müsste). Liege ich da falsch?

07.01.2009, 20:08

Duedi

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Ansonsten habe ich:

für n=6:

$\begin{eqnarray*} T_6(1) = -\tfrac{5}{16} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} T_6(3)=-\tfrac{5}{24} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} T_6(5) = -\tfrac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Für gerade k ist der Faktor natürlich 0

für n=4:

$\begin{eqnarray*} T_4(1)=-\tfrac{3}{8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_4(3)=-\tfrac{1}{4} \end{eqnarray*}$

für n=2:

$\begin{eqnarray*} T_2(1) = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

08.01.2009, 17:00

Duedi

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Habe jetzt meine bisherigen Ergebnisse komplettiert (siehe letzter edit meines letzten Beitrags), kann leider absolut kein System erkennen.

11.01.2009, 15:41

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Ok, da du meinen Rat mit dem Aufstellen entsprechender Rekursionsformeln nicht befolgen willst, demonstriere ich es eben: Einsetzen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} T_n(k) \sin^k(t) \cos(t) = -\frac{1}{n}\cdot\sin^{n-1}t\cdot \cos t + \frac{n-1}{n} \sum_{k=0}^{n-3} T_{n-2}(k) \sin^k(t) \cos(t) \end{eqnarray*}$

und anschließender Koeffizientenvergleich ergibt

$\begin{eqnarray*} T_n(k) = \frac{n-1}{n} T_{n-2}(k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,n-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_n(n-2) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_n(n-1) = -\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist die Rekursion, die gilt es aufzulösen. Für gerade $\begin{eqnarray*} k=2r \end{eqnarray*}$ sowie ungerade $\begin{eqnarray*} n=2s+1>2r \end{eqnarray*}$ folgt dann durch wiederholte Anwendung der Rekursion

$\begin{eqnarray*} T_{2s+1}(2r) &=& \frac{2s}{2s+1} \cdot \frac{2s-2}{2s-1} \cdot \ldots \cdot \frac{2r+2}{2r+3} T_{2r+1}(2r) = \frac{2s}{2s+1} \cdot \frac{2s-2}{2s-1} \cdot \ldots \cdot \frac{2r+2}{2r+3} \cdot \left(-\frac{1}{2r+1} \right) \\ &=& - \frac{\left(2^{s-r}\cdot s(s-1)\cdot \ldots \cdot (r+1)\right)^2}{(2s+1)2s(2s-1)\cdot \ldots \cdot (2r+1)} = -2^{2(s-r)} \frac{s!^2 \cdot (2r)!}{r!^2 \cdot (2s+1)!} \end{eqnarray*}$

Ähnliche Fakultätsdarstellungen kannst du dann auch für den anderen wesentlichen Fall ungerader $\begin{eqnarray*} k=2r-1 \end{eqnarray*}$ und gerader $\begin{eqnarray*} n=2s>2r-1 \end{eqnarray*}$ entwickeln. Du musst nur durchhalten, statt so früh aufzugeben.

11.01.2009, 16:23

Duedi

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Erstmal ein Dankeschön für deine Mühen. Deinen Rat habe ich nicht befolgt, allerdings weder absichtlich noch aus Faulheit, sondern weil ich so etwas noch nie gemacht habe und ich jetzt aufgrund einer hoffentlich realistischen Selbsteinschätzung behaupten kann, dass ich darauf niemals gekommen wäre. Besonders der Schritt, in dem du $\begin{eqnarray*} T_{2r+1}(2r) = -\frac{1}{2r+1} \end{eqnarray*}$ setzt: Für $\begin{eqnarray*} n = 2r+1 = 1 \end{eqnarray*}$ kann ich das noch nachvollziehen, aber warum kann man das so sagen?

11.01.2009, 16:30

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Na das ist der erste Summand rechts in der Rekursion

$\begin{eqnarray*} \int\sin^n t~ dt = -\frac{1}{n}\cdot\sin^{n-1}t\cdot \cos t ~+~ \frac{n-1}{n}\cdot\int\sin^{n-2}t~ dt \end{eqnarray*}$ ,

weiter nichts.

11.01.2009, 16:33

Duedi

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Ah ok, stimmt. Ich versuche mich gerade an dem für mich relevanten Fall, in dem n gerade und k ungerade ist. Ich melde mich wieder.

11.01.2009, 16:59

Duedi

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Dieselben Voraussetzungen wie vorhin in Arthurs Post, desweiteren $\begin{eqnarray*} k=2r-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2s > k \end{eqnarray*}$ . Es geht also um die Bildung von Integralen der Form $\begin{eqnarray*} \int\sin^{2s}(t)~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{2s}(2r-1) = \frac{2s-1}{2s}\cdot\frac{2s-3}{2s-2}\cdot~\cdots~\cdot\frac{2r+1}{2r+2}\cdot T_{2r}(2r-1)\\ \\=\frac{2s-1}{2s}\cdot\frac{2s-3}{2s-2}\cdot~\cdots~\cdot\frac{2r+1}{2r+2}\cdot\left(-\frac{1}{2r}\right)\\ \\ = -\frac{(2s-1)\cdot(2s-3)\cdot~\cdots~\cdot(2r+1)}{2^{s-r+1}\cdot s \dot (s-1)\cdot~\cdots~\cdot r}\\ \\ = -\frac{(2s)\cdot(2s-1)\cdot(2s-2)\cdot(2s-3)\cdot~\cdots~\cdot(2r+1)\cdot 2r}{(2^{s-r+1}\cdot s \cdot (s-1)\cdot ~\cdots~\cdot r)^2}\\ \\ = -2^{-2(s-r+1)}\cdot\frac{((r-1)!)^2\cdot(2s)!}{(s!)^2\cdot(2r-1)!} \end{eqnarray*}$

So?

EDIT: Fehler verbessert

11.01.2009, 17:08

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Beim Übergang von der dritten zur vierten Zeile scheint dir ein Faktor $\begin{eqnarray*} 2s \end{eqnarray*}$ im Zähler verlorengegangen zu sein:

$\begin{eqnarray*} &=& -\frac{(2s-1)\cdot(2s-3)\cdot~\cdots~\cdot(2r+1)}{2^{s-r+1}\cdot s \cdot (s-1)\cdot~\cdots~\cdot r}\\ &=& -\frac{2s\cdot (2s-1)\cdot(2s-2)\cdot(2s-3)\cdot~\cdots~\cdot(2r+1)\cdot 2r}{(2^{s-r+1}\cdot s \cdot (s-1)\cdot ~\cdots~\cdot r)^2} \end{eqnarray*}$

Außerdem ist

$\begin{eqnarray*} s \cdot (s-1)\cdot~\cdots~\cdot r = \frac{s!}{(r-1)!} \end{eqnarray*}$

Also wirklich an den Grenzen ganz genau aufpassen, damit du nicht +-1 danebenliegst!

11.01.2009, 17:11

Duedi

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richtig, den hatte ich übersehen. Danke, du hast mir sehr geholfen! Gott

Gott

11.01.2009, 20:37

Duedi

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Um mein Ergebnis zu kontrollieren, möchte ich es noch kurz zusammenfassen, vllt kann ja jemand mal kurz drübergehen:

$\begin{eqnarray*} \int\sin^{2k}(t)~dt = t \cdot T_{2k}(-1) +\sum_{j=1}^kT_{2k}(2j-1)\cdot\sin^{2j-1}(t)\cdot\cos(t) \end{eqnarray*}$

Stimmt das dann so? Wenn ich versuche, j=0 in das Summenzeichen reinzunehmen, bekomme ich Probleme, weil statt des erwarteten " $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ " plötzlich $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(t)}{\sin(t)} \end{eqnarray*}$ da steht. Ist das ein Problem oder kann ich das Problem einfach wie oben angegeben umgehen?

11.01.2009, 21:11

Duedi

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Habe jetzt gemerkt, dass das gar nicht geht, weil z. B. $\begin{eqnarray*} T_2(-1) \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Ich muss vielmehr $\begin{eqnarray*} T_2(1) \end{eqnarray*}$ als Faktor zum t setzen, allerdings taucht dieser Faktor dann zweimal auf verwirrt

verwirrt

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