Exponentioalfunktionen

07.01.2009, 19:05	abiturientin09	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentioalfunktionen Hallo! Ich gebe einer 10-Klässlerin Nachhilfe in Mathe und konnte ihr bei ihrer letzten Aufgabe leider nicht großartig weiterhelfen. Sie hat gerade mit dem Thema Exponentialfunktionen begonnen. Ich habe mein bestes versucht, kam aber zu keiner zufriedenstellenden Lösung. Hier die Aufgabe: das radioaktive Kohlenstoff-Isotop C14 hat eine Halbwertszeit von 5760 Jahren. Lebende Organisemen haben die selbe C14-Konzentration wie die Luft, nach dem Tod setzt der C14-Zerfall ein. a) Wieviel Prozent der ursprünglichen Strahlung hat ein Stück Holz, das 2880 Jahre alt ist? b) Wieviel Prozent der ursprünglichen Strahlung hat ein Stück Leder, das 3000 Jahre alt ist? c) berechne den jährlichen Zerfall von C14! (Kontrolle: Jährlicher Strahlungsverlust o,o112%) d) Wie alt ist ein Fundstück, von dem noch 16% Reststrahlung übrig ist? e) H sei die Halbwertszeit, q der jährliche Zerfallsfaktor von C14, t die Zeit in Jahren. Begründe die Gleichung: q^t = 2^-t/H ! f) Berechne die Halbwertszeit eines Stoffes, dessen Strahlung jährlich um 12% sinkt! zu a) Nach 5760 Jahren muss also die Hälfte von dem Kohlenstoff-Isotop C14 zerfallen sein. 5760 --> 50% ist zerfallen da es sich um eine Exponentialfunktion handelt, kann man hier nicht mit einem Dreisatz arbeiten. Stattdessen gilt: f(x)=a^x wenn man die Zahlen nun einsetzt sieht das so aus: 0,5 = a^5760 lg 0,5/lg5760 = a da muss irgendein Fehler sein, meiner meinung nach kann das ergebnis nicht stimmen. zu b) das ist genau der gleiche fall wie a) zu c) vllt f(x)=a^x a^5760 = 0,5 ... damit wäre ich bei der gleichen rechnung wie für a). ich brauch also irgendwie ne andere formel zu d) 0,16 = 0,0112^x lg 0,16/lg x = 0,0112 lg x = lg 0,16 / 0,0112 lg x = -71,0607 wie rechne ich jetzt x aus? zu e) ich habe keine ahnung zu f)pro (1) jahr sinkt der stoff um 12 % 0,12 = a^1 lg 0,12 / lg 1 = 0 nee, schon wieder voll daneben. Ich wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.
07.01.2009, 19:39	uwe-b	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz: $\begin{eqnarray} B(t) = B(0) \cdot a^t \end{eqnarray}$ Zum Anfang sind 100% vorhanden, d.h. B(0) = 100%. Also gilt für die Halbwertszeit: $\begin{eqnarray} B(5760) = 50% \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} 100 a^{5760} = 50 \end{eqnarray}$ <=> ...<=> $\begin{eqnarray} t = \sqrt[5760]{0,5} = 0,5^{\frac{1}{5760}} = 0.9998796691 \end{eqnarray}$ . Damit $\begin{eqnarray} B(t) = 100 \cdot 0.9998796691^t \end{eqnarray}$ a) und b) sollten damit klar sein. c) Jedes Jahr zerfällt $\begin{eqnarray} ((1-0.9998796691) \cdot 100) %= ... \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} B(t) = 16% \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ bestimmen. e) Betrachte den Ansatz. f) Ansatz mit $\begin{eqnarray} a = 0,12 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B(0) = 100% \end{eqnarray}$ . Dann berechne $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ für dass gilt: $\begin{eqnarray} B(t) = 50% \end{eqnarray}$ .

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