Ebene in Koordinaten und Parameterform umwandeln...?

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tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene in Koordinaten und Parameterform umwandeln...?
Hi,

Ich habe folgendes Problem:
Wenn ich eine Ebene in Koordinatenform habe wie kann ich diese in eine Parameterform umwandeln z.B 2x(1) - 3x(2) + x(3) = 6 und wie geht es dann auch wieder andersrum von Parameter in Koordinatenform ?
Könnte mir das bitte jemand an oben genanntem Beispiel zeigen ?
Vielen Dank!
Jochen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erklär's dir zunächst mal allgemein Augenzwinkern

Du hast ja deine Koordinatenform der Form:
ax +by +cz = d
Dieses Lineare Gleichungssystem musst Du nu lösen.
Du setzt y = r, z = s und löst nach x auf.

Das Ganze dann vektoriell schreiben und du erhälst deine Ebene in Parameterform.



Versuch's mal hiernach zu rechnen, wenn es garnich geht, schreien smile

Gruß,

Jochen


Edit: Meine Formel wurde verschluckt verwirrt
Edit2: Oder Du schaust einfach einen Beitrag weiter unten, anstatt zu schreien Augenzwinkern
 
 
grybl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene in Koordinaten und Parameterform umwandeln...?
Du setzt für die erste Variable z.B. den Parameter t ein und für die 2. Variable den Parameter u ein, die 3. Variable drückst du dir dann durch die anderen 2 aus.
Anhand dieses Beispiels:
x1 = t
x2 = u
x3= 6 - 2*t + 3* u
Nun ist es günstig in diese Form umzuwandeln:
x1 = 0 + 1*t + 0*u
x2 = 0 + 0*t + 1*u
x3 = 6 - 2*t + 3*u
so kannst du die Parameterform ablesen.

Umgekehrt kannst du von der Parameterform zur Normalform kommen, indem du ein GLS aufstellst und die Parameter eliminierst oder du bildest aus den 2 Richtungsvektoren den Normalvektor und nimmst den Punkt zum einsetzen her.

Wink

edit: sah, es war wer schneller
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

und wie bekomme ich aus der Parameter die Koordinatenform ?
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wusste nicht, dass bei euch Koordinatenform statt Normalform verwendet wird. verwirrt :P
Also ersetze in meinem letzten Post einfach Normalform durch Koordinatenform.
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

wir müssen die Umwandlung von der einen in die andere und andersrum können....
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erklärs schnell mal an einem Beispiel:



Ich bevorzuge die Methode mit dem Normalvektor:

(wenn ich mich nicht verrechnet habe smile )

Dann schaut die Koordinatenform so aus:
3*x-3*y+2*z =3*1-3*2+2*3 Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ tschekowski

Müßt ihr wirklich beide Richtungen können? Ich bin immer froh, wenn ich die Parameterdarstellung weg habe. Ich kenne keine einzige geometrische Aufgabenstellung, wo die Parameterdarstellung nützlicher ist als die Normalenform.
Marco_the_Chief Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte hier eine recht primitive Variante zum umwandeln der Normalenform in die Koordinatenform:

Beispiel:

-1x+2y+z-1=0

setze einfach irgendwelche Zahlen für x und y ein, in deren Abhängigkeit kannst Du nun z bestimmen, das mache dreimal, dann hast Du drei Punkte der Ebene:

z.B. x=1, y=1
=> -1*1+2*1+z-1=0
=> z=0
=> A(1/1/0)

z.B. x=0, y=1
=> -1*0+2*1+z-1=0
=> z=-1
=> B(0/1/-1)

z.B. x=2, y=1
=> -1*2+2*1+z-1=0
=> z=1
=> C(2/1/1)

mit den drei Punkten kannst Du nun einfach eine Koordinatenform ermitteln:

--> --> --> --> -->
0A+l*(0B-0A)+k*(0C-0A)

edit: die Pfeile sollen die Vektorpfeile sein :-)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aber aufpassen, daß die Richtungsvektoren nicht linear abhängig werden.
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

@grybl: ist es egal ob ich nach x1, x2 oder x3 auflöse ?
d.h könnte ich auch nach x2 auflösen und dann x1 und x3 durch r und s ersetzen ?
(das Problem ist doch aber dann, dass man je nachdem nach was man auflöst eine andere Ebenenform hat, oder ?
Ich könnte doch nämlich z.B auch hingehen und die Form zuerst nach x1 dann nach x2 und dann nach x3 umstellen und dann habe ich eine andere Paramterform...?!?
Wieso reicht es eigentlich, dass ich nach nur einer Variable (z.B x2) auflöse und dann beim Rest X3=t und x1=s hinschreibe ?)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dieselbe Ebene durch eine Parameterform darzustellen:
i) Der Stützvektor kann durch jeden anderen Ortsvektor eines Punktes der Ebene ersetzt werden.
ii) Ein Richtungsvektor kann durch eine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren ersetzt werden, solange die lineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren erhalten bleibt.
tschekowski Auf diesen Beitrag antworten »

d.h es ist prinzipiell egal wie ich meine Parameterform bekomme ?
Egal ob ich einmal nach x1 und x2 und x3 umstelle, oder nur nach x3 oder nur nach x1 oder x2 hauptsache die abhängigkeit der werte steckt da irgendwo drin ?
grybl Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. :] Du suchst dir immer die "günstigste" Variable zum Ausdrücken aus.
Wink
aybichan Auf diesen Beitrag antworten »
danke
danke grybl die infos werde ich vielleicht morgen brauchen Tanzen Tanzen Tanzen Tanzen Tanzen Tanzen
Criina Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer Danke auch von meiner Seite. Die Infos sind genial. *.*
Die Klausur morgen wird dann wohl doch auf ne 4 hinaus laufen. *yay* Gott
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