Beschränktheit untersuchen

07.01.2009, 19:21	Riekeline	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit untersuchen Hallo, habe da noch so eine Sache, die ich (noch) nicht peile. $\begin{eqnarray} a_n = \frac{n - 1}{1 + n} \end{eqnarray}$ So, diese Folge ist nach unten beschränkt, dadurch, das der Zähler bei n = 1 gleich 0 wird. Nun soll diese Folge auch nach oben beschränkt sein. Was so erklärt wurde, ich aber nicht verstehe: Da folgende Ungleichung gilt $\begin{eqnarray} n - 1 \leq n + 1 \end{eqnarray}$ ,also auch $\begin{eqnarray} n - 1 \leq 1 + n \end{eqnarray}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray} \frac{n - 1}{1 + n} \leq 1 \end{eqnarray}$ Mag ja stimmen, aber ich verstehe echt nicht, wie der Lehrer darauf gekommen ist. Kann mir hier einer das vielleicht erklären? Lieben Dank im Voraus. LG Rieke
07.01.2009, 23:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da n eine natürliche Zahl ist (Zählindex), ist sicher immer $\begin{eqnarray} n - 1 < n + 1 \end{eqnarray}$ (denn n < n + 2) Diese Ungleichung dividieren wir durch n + 1, das sicher immer positiv ist, daher ändert sich das Relationszeichen nicht: $\begin{eqnarray} \frac{n-1}{n+1} < 1 \end{eqnarray}$ Die linke Seite ist gerade $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ , somit ist $\begin{eqnarray} a_n < 1 \ \text{für alle } n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Das ist die Bedingung dafür, dass die Folge $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nach oben beschränkt ist, mit der oberen Schranke 1 mY+
09.01.2009, 19:12	Riekeline	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, danke für Deine Erklärung. Mein Problem ist scheinbar, das ich nicht wirklich weiß, um was es geht, und wie ich es richtig darstelle. Wie komme ich auf sowas, bzw. was ist die Basis dazu? Ist mir echt nicht klar. Kannst Du mir ausführliche Literatur dazu empfehlen? Muss das irgendwie in die Birne bekommen. Dank Dir für Deine Hilfe. LG Rieke
09.01.2009, 19:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Literatur muss ich leider passen, ich habe entweder einiges im Kopf, beim anderen schaue ich einfach ins Netz. Das würd ich dir für's erste auch empfehlen. Hinsichtlich Literatur kann dir vielleicht wer anderer einen Rat geben. -------------- Wenn $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ eine ober Schranke der Folge $\begin{eqnarray} <a_n> \end{eqnarray}$ ist, so gilt für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n \leq s \end{eqnarray}$ Analog lautet die Bedingung für eine untere Schranke ... Beispiel: $\begin{eqnarray} a_n = \frac{n}{2n + 1} \end{eqnarray}$ Die Folge ist monoton steigend (jedes Folgenglied ist größer oder gleich seinem vorhergehenden, das kann/muss man ebenfalls zeigen) und hat den Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Das erste Glied ist $\begin{eqnarray} a_1 = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und alle Glieder sind positiv. Daher ist z.B. 0 eine untere Schranke (Minorante) und z.B. 1 eine obere Schranke (Majorante), weil alle Glieder größer als Null und kleiner als der Grenzwert sind. Wir zeigen nun, dass 1 eine ober Schranke ist. Dabei muss gelten $\begin{eqnarray} a_n \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n}{2n + 1} \leq 1 \end{eqnarray}$ mit dem Nenner multiplizieren, dieser ist für alle natürlichen n positiv, also bleibt das Relationszeichen erhalten. $\begin{eqnarray} n \leq 2n + 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \leq n + 1 \end{eqnarray}$ Das ist bestimmt wahr für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , und damit ist der Beweis geführt. mY+
10.01.2009, 15:01	Rie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, danke für Deine Ausführung. Hmm, ich denke, ist auch viel üben, üben, üben... Ok, bis hier komme ich, glaube ich noch gut mit: $\begin{eqnarray} a_n \leq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n}{2n + 1} \leq 1 \end{eqnarray}$ mit dem Nenner multiplizieren, dieser ist für alle natürlichen n positiv, also bleibt das Relationszeichen erhalten. $\begin{eqnarray} n \leq 2n + 1 \end{eqnarray}$ Will nochmal versuchen, das Gedanklich zu ordnen. Es geht hier um den Beweis, das 1 die obere Schranke ist. Das macht man, indem man das in der Ungleichung $\begin{eqnarray} a_n \leq 1 \end{eqnarray}$ ausdrückt. Dann setzt man für $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ die Formel $\begin{eqnarray} \frac{n}{2n + 1} \end{eqnarray}$ ein und hat: $\begin{eqnarray} \frac{n}{2n + 1} \leq 1 \end{eqnarray}$ Ah, nun hast Du mit dem Nenner multipliziert, was zu $\begin{eqnarray} n \leq 2n + 1 \end{eqnarray}$ wird. Dann ist das im Prinzip "nur" das vereinfach/ausrechnen der Ungleichung? Und von $\begin{eqnarray} n \leq 2n + 1 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} 0 \leq n + 1 \end{eqnarray}$ bist Du durch -n auf beiden Seiten gekommen, richtig? LG Rieke
10.01.2009, 23:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. mY+
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11.01.2009, 09:54	Riekeline	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, super, dank Dir. Warum kann man dann das nicht so einfach erklären, wie Du es gemacht hast? Oh man.... Dank' Dir und einen schönen Sonntag. LG Rieke

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