Monotonieeigenschaft rausfinden

07.01.2009, 19:35

Riekeline

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Monotonieeigenschaft rausfinden

Hallo,

bei folgender Folge soll ich die Monotonieeigenschaft rausfinden:

$\begin{eqnarray*} k_n = \frac{1}{n^{2}+n} \end{eqnarray*}$

Das nächste Folgenglied ist kleiner, demnach ist die Folge streng monoton fallend.

Doch wie zeige ich das richtig?

Auch vestehe ich nicht ganz streng monoton und monoton,

Also
Streng monoton steigend/fallend = < / >
monoton steigend/fallend = $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$

Was sollte man eher angeben? Streng monoton oder monoton, da bei monoton, ja auch streng mit enthalten ist. (hoffe, das ist nicht zu konfus erklärt, was ich meine)

Danke für Infos und Hilfe.

LG Rieke

07.01.2009, 19:47

Q-fLaDeN

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RE: Monotonieeigenschaft rausfinden

Zitat:

Original von Riekeline
Doch wie zeige ich das richtig?

Um zu zeigen, dass die Funktion monoton fallend ist, muss man zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} k_n \geq k_{n+1} \end{eqnarray*}$

Mit Worten ausgedrückt bedeutet das: "Jedes Glied $\begin{eqnarray*} k_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das erst einmal gezeigt hast, dann kannst du auch sehen ob sogar $\begin{eqnarray*} k_n > k_{n+1} \end{eqnarray*}$ gilt.

08.01.2009, 08:25

Riekeline

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Ah, ich glaube, ich verstehe.

Ich zeige was das nächste Folgeglied ist, also $\begin{eqnarray*} k_{n+1} \end{eqnarray*}$ und schaue, ob es steigt, oder fällt.

In etwa so?

LG Rieke

08.01.2009, 13:52

Q-fLaDeN

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Wenn du das für allgemeingültige $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ machst, dann ist das richtig. Eine Stichprobe für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ reicht natürlich hinten und vorne nicht aus.

09.01.2009, 19:25

Riekeline

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Hallo Q-fLaDeN,

danke für Deine Erklärung.

Oha, allgemeingültig reicht nicht.

Und wie zeigt man, wie es richtig ist?

Dieses "zeigen" macht mir schwierigkeiten, wie das im endeffekt auszusehen hat.

LG Rieke

10.01.2009, 10:16

Q-fLaDeN

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RE: Monotonieeigenschaft rausfinden

Zitat:

Original von Riekeline
Oha, allgemeingültig reicht nicht.

verwirrt

Doch, ich hab doch geschrieben, dass man es allgemeingültig zeigen muss. Noch etwas allgemeingültigeres als allgemeingültig gibt es wohl nicht Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Um zu zeigen, dass die Funktion monoton fallend ist, muss man zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} k_n \geq k_{n+1} \end{eqnarray*}$

Setz doch einfach mal hier deine Folge ein, und vereinfache dann.

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11.01.2009, 10:50

Riekeline

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Sorry, hatte das mit der Stichbrobe verwechstellt.
Allgemeingültigkeit soll ja gezeigt werden, für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Hmm, wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} k_{n+1} \end{eqnarray*}$

Da muss ich doch $\begin{eqnarray*} (n^{2}+ n) +1 \end{eqnarray*}$ rechnen, oder?

Sh..., komme gerade nicht darauf. Aber verstehe, was zu zeigen, anhand Berechnungen ist.

LG Rieke

11.01.2009, 11:42

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} k_n \geq k_{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_n \end{eqnarray*}$ ist klar: $\begin{eqnarray*} k_n = \frac{1}{n^2+n} \end{eqnarray*}$

Was wird dann wohl $\begin{eqnarray*} k_{n+1} \end{eqnarray*}$ sein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} k_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$

Das solltest du schon wissen. Nur mal als Test ob du es verstanden hast:

Was wäre dann $\begin{eqnarray*} k_{n-a^2} \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2009, 12:04

Riekeline

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Das habe ich befürchtet, das ich nicht auf $\begin{eqnarray*} k_{n+1} \end{eqnarray*}$ komme. *seufz*

Ich gebe das n+1 nur für den Nenner an?

$\begin{eqnarray*} (n^{2}+n) +(n+1) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Dann komme ich aber auf das Binom $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} n^{2}+2n+1 \end{eqnarray*}$

Wo hänge ich den?

LG Rieke

11.01.2009, 12:16

Q-fLaDeN

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Nein nein, ich hab doch schon angegeben, was $\begin{eqnarray*} k_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} k_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$

Das ist so:

$\begin{eqnarray*} k_n = \frac{1}{n^2+n} \end{eqnarray*}$ , das ist klar.

$\begin{eqnarray*} k_{\overbrace{n}} = \frac{1}{\underbrace{n^2}+\underbrace{n}} \end{eqnarray*}$ , überall wo jetzt die Klammern stehen, steht ein n. Wenn man nun $\begin{eqnarray*} k_{n+1} \end{eqnarray*}$ berechnen will, schreibt man einfach anstatt dem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , ein $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} k_{\overbrace{n+1}} = \frac{1}{\underbrace{(n+1)^2}+\underbrace{(n+1)}} \end{eqnarray*}$

Das erklärt nun auch, warum du im Zähler nichts verändern musst. Das ganze hat NICHTS mit dem addieren von $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ zu tun.

Nun nochmal als Übung:

Was ist $\begin{eqnarray*} a_{n+z^2} \end{eqnarray*}$ der Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n-1}{n^3+2} \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2009, 12:35

Riekeline

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Oh man. Da habe ich echt nicht aufgepasst.

Stimmt, n+1 ist für n einzusetzen, deswegen ist natürlich auch beim Zähler nichts
zu ändern. *andiestirnhau*

Ok, das habe ich jetzt verstanden.

Bei Deiner Aufgabe müsste dann $\begin{eqnarray*} n+z^3 \end{eqnarray*}$ bei n eingesetzt werden, richtig?

Also
$\begin{eqnarray*} a_{n+z^2} = \frac{(n+z^2)-1}{(n+z^2)^3+2} \end{eqnarray*}$ ?

LG Rieke

11.01.2009, 13:13

Q-fLaDeN

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So ist es

Freude

So, jetzt zur Aufgabe:

Zeige $\begin{eqnarray*} k_n \geq k_{n+1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 13:27

Riekeline

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Hallo Q-fLaDeN,

danke. Erklärst auch gut.

In meinen Lösungen, war nur das hier angegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$ Demzufolge ist die Folge streng monoton fallend.

Ehrlichgesagt, komme ich mit dieser "Lösung" nicht wirklich klar.

Auch verstehe ich nicht, wie es jetzt weiter geht.

Ich würde sagen, soweit vereinfachen, wie geht?

LG Rieke

11.01.2009, 13:37

Q-fLaDeN

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Man kann aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$ zwar folgern, dass das immer stimmt, dennoch sollte man das ganze vereinfachen, und zwar so weit wie möglich.

Vereinfache doch mal

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \qquad |\cdot (n^2+n) >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{n^2+n}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{n^2+n}{n^2+2n+1+n+1} \end{eqnarray*}$

usw...

11.01.2009, 13:38

Riekeline

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Also, die Vereinfachung würde ich so machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$

Wird zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{n^2+2n+1 +(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

Nun auf beiden Seiten mit $\begin{eqnarray*} n^2+n \end{eqnarray*}$ mulitiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n}{n^{2}+n} \geq \frac{n^2+n}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

Nun wird gekürzt, so daß folgendes herauskommt:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$
Und das stimmt ganz sicher.

Was meinst Du?

Wenn das stimmt, dann bin ich noch in einem etwas unsicher.

Wie bekomme ich dann raus, ob streng monoton oder "nur" monoton?

LG Rieke

11.01.2009, 13:40

Riekeline

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Ups, hatte gleich nach meinem letzten Post mich drangesetzt.

11.01.2009, 13:42

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Riekeline
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n}{n^{2}+n} \geq \frac{n^2+n}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

Nun wird gekürzt, so daß folgendes herauskommt:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$
Und das stimmt ganz sicher.

Nein, die rechte Seite ist falsch. Wie war das noch? "Aus Summen kürzen nur die..."

11.01.2009, 14:00

Riekeline

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Ach man....
Wieder zu voreilig. Hammer

Hammer

Dann müsste das hier rauskommen:
$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{n^2+n}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

Richtig?

LG Rieke

11.01.2009, 14:02

Q-fLaDeN

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Ja. Aber man kann noch weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{n^2+n}{n^2+3n+2} \qquad |\cdot (n^2+3n+2) >0 \end{eqnarray*}$

...

11.01.2009, 14:28

Riekeline

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Ok!?

Mit Deinem >0 komme ich nicht ganz klar.

Es würde dan so weitergehen:

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{n^2+n}{n^2+3n+2} \qquad |\cdot (n^2+3n+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+3n+2 \geq \frac{n^2+n \cdot (n^2+3n+2)}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^2+3n+2 \geq n^2+n \qquad|-n^2-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n+2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2(n+1) \geq 0 \end{eqnarray*}$

So?

LG Rieke

11.01.2009, 14:37

Q-fLaDeN

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Ja richtig.

Hier gehts aber auch noch weiter:

$\begin{eqnarray*} 2(n+1) \geq 0 \qquad |\cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+1 \geq 0 \qquad |-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq -1 \end{eqnarray*}$

Ist das nun für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ erfüllt?

Zitat:

Original von Riekeline
Wie bekomme ich dann raus, ob streng monoton oder "nur" monoton?

Man kann nun schauen, ob die letzte Zeile nicht nur für $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ sondern sogar für $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Ist sie das?

PS: Mit dem $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ Zeichen bei der Aequivalenzumformung will ich einfach nur andeuten, dass der Term, mit dem ich multipliziere, größer als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist. Denn wenn er kleiner als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wäre, dann müsste ich das $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ Zeichen umdrehen und $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

\Edit:

Zitat:

Original von Riekeline
$\begin{eqnarray*} n^2+3n+2 \geq \frac{n^2+n \cdot (n^2+3n+2)}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

Hier fehlen Klammern:

$\begin{eqnarray*} n^2+3n+2 \geq \frac{(n^2+n) \cdot (n^2+3n+2)}{n^2+3n+2} \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 14:46

Riekeline

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Warum fehlt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite?

Muss nicht auf beiden Seiten gleich erweitert werden?

Stimmt, die Klammer habe ich nur vergessen.

LG Rieke

11.01.2009, 14:49

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Riekeline
Warum fehlt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite?

Muss nicht auf beiden Seiten gleich erweitert werden?

Ja klar, aber was ist denn $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ?

11.01.2009, 15:04

Riekeline

Auf diesen Beitrag antworten »

Argh, ich hoffe, das ich bald aufwache. Das gibt es ja nicht. Hammer

Hammer

*seufz* nicht mein Tag.

11.01.2009, 15:08

Q-fLaDeN

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Augenzwinkern

Nun noch meine Fragen aus meinem letzten Beitrag beantworten und du bist fertig.

11.01.2009, 15:17

Riekeline

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Gut zurück zu Deiner Frage

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} n \geq -1 \end{eqnarray*}$
Ist das nun für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ erfüllt?

Da die natürlichen Zahlen alle positiv sind, ist die Bedingung erfüllt.

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Man kann nun schauen, ob die letzte Zeile nicht nur für $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ sondern sogar für $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Ist sie das?

Ich versuche es mal:

Da $\begin{eqnarray*} n \neq -1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist, würde ich hier die strenge Monotonie angeben also
$\begin{eqnarray*} n > -1 \end{eqnarray*}$

Aber bin mir dabei nicht sicher.

LG Rieke

11.01.2009, 15:31

Q-fLaDeN

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Völlig korrekt Freude

Freude

11.01.2009, 15:39

Riekeline

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Echt?

Wow, Dank' Dir. Gott

Gott

Auch für Deine Geduld.

Das muss ich mir nochmal alles anschauen.

LG Rieke

11.01.2009, 15:46

Q-fLaDeN

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Ja, wir haben ja rausbekommen, dass die Funktion streng monoton fallend ist, und genau das wollten wir ja testen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Übrigens geht das auflösen noch ein wenig schneller wenn man den Kehrbruch bildet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}+n} \geq \frac{1}{(n+1)^2+(n+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n^{2}+n \leq (n+1)^2+(n+1) \end{eqnarray*}$

11.01.2009, 15:59

Riekeline

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:-)

Heftig.

Naja, Mathe ist nicht so ganz mein Ding. Aber ich versuche es zumindest.

Dank' Dir.

LG Rieke

11.01.2009, 16:01

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Riekeline
Naja, Mathe ist nicht so ganz mein Ding. Aber ich versuche es zumindest.

Diese Einstellung ist ja schonmal eine sehr gute Vorraussetzung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gerne.

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