Schwerpunkt im R³ einer parabolischen Kuppel |
| 07.01.2009, 20:05 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schwerpunkt im R³ einer parabolischen Kuppel Gegeben ist der D={(x,y,z) e R³: -1<=x<=1,-1<=y<=1,0<=z<=2-x²-y²} ich entschuldige mich für die Schreibweise...<= bedeutet kleiner gleich ich brauche von der obigen parabolischen Kuppel den Schwerpunkt z_s ich weiss dass es ein dreifaches Integral ist und dass die Masse in der Formel vorkommt aber ich weiss nicht wie es zu berechnen geht. Vielen Dank im Voraus für die Antworten |
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| 07.01.2009, 20:15 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Schwerpunkt im R³ einer parabolischen Kuppel Hi! Wird in der Aufgabe eine Aussage zur Dichte gemacht. Sonst nehmen wir einfach mal an, dass ist. Schreib dir doch erstmal die allgemeine Formel für die Schwerpunktsberechnung auf. Interessant ist ja in diesem Fall nur die z-Koordinate. Tipp: Vielleicht überlegst du dir erstmal den Ansatz in kartesischen Koordinaten, dann transformieren wir in Zylinderkoordinaten (denke mal, dass dies einfacher geht). |
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| 08.01.2009, 00:40 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist es nicht einfach das dreifache Integral der Funktion z=2-x²-y? Einmal nach x einmal nach y und einmal nach z. Unda was ist das 1/M was vor dem dreifachen Integral steht. Wie berechnet man die Masse? Gibt es da eine bestimmte Formel? Ich bin kein Mathe-Student...ich muss nur die "Mathematik 1" Prüfung ablegen die ich immer aufgeschoben habe und jetzt mit dem Studium am Ende bin 
Ich studiere Bauingenieurwesen.Vielen Dank nochmal für die rasche Antwort |
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| 08.01.2009, 10:54 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay ich glaube etwas mehr verstanden zu haben. Nun habe ich nur ein Problem mit den Grenzen des 3. Integrals und zwar dem Integral nach z Die Grenzen des Integrals nach x und nach y sind beide von -1 bis 1. Ich habe die Grenze vom Integral nach y von 0 bis 2-x²-y² laufen lassen wobei das ergebnis aber nicht stimmen kann da ich eine z_Koordinate von 11,911 bekomme. Laut Graph kann das nicht stimmen. Wie bestimme ich richtig die Grenzen für das Integral nach z? Dankee
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| 08.01.2009, 10:55 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korrektur Integral nach Z!
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| 08.01.2009, 13:26 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mal ganz langsam, das sind ja im Moment sehr viele Fragen auf einmal. Den Schwerpunkt bezüglich der z-Koordinate berechnet man doch so: wenn wir homogene Dichte annehmen. Ist , so folgt aus der Beziehung Also müssen wir zunächst das Volumen bestimmen. Das Volumen widerrum ergibt sich durch Folgende Arbeitsschritte sind also nötig: Beschreibe D als Normalbereich bzgl. der z-Achse, integriere dann über diesen Normalbereich. Damit hast du dann die Masse (bzw. das Volumen). Anschließend machst du dich an die Berechnung der Schwerpunktkoordinate. Tipp von oben: Zylinderkoordinaten. Fasse den Paraboloid als Drehkörper auf. Betrachte das Bild, dass entsteht, wenn du setzt und parametrisiere. Meine Frage steht immer noch: steht in der Aufgabe irgendwas zur Dichte? P.S. Gerade als Bauingeneur ist das wichtig 
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| 08.01.2009, 14:13 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein zur dichte steht nichts. also rho=1 probiere mal weiterzurechnen...werd mich sicher noch melden :=) danke |
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| 08.01.2009, 14:33 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay das Volumen bzw die Masse weil rho=1 ist habe ich mit 8 rausbekommen. Das mit den Yzlinderkoordinaten verstehe ich leider nicht. Im Skriptum gibt es auch kein Beispiel wo das erklärt wird. |
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| 08.01.2009, 14:36 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
korrigiere -8 |
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| 08.01.2009, 15:07 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gut habs mal probiert mit dem Schwerpunkt und habe -0.911 rausbekommen für die Z-Koordinate...kann das stimmen? |
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| 08.01.2009, 15:08 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eher nicht |
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| 08.01.2009, 15:12 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach mit dem mathematischen verliere ich den Bezug zur Realität. Natürlich kann das Volumen nicht negativ sein also +8 und dann bekomme ich den Schwerpunkt für die Z-Koordinate zu 0.8611 raus. habs nochmal nachgerechnet |
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| 08.01.2009, 17:43 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erste Bemerkung: Es wäre schön, wenn du die Editier-Funktion des Boards nutzt, da der Thread sonst extrem unübersichtlich wird. Das erschwert die Lesbarkeit. Vielen Dank. Leider habe ich für das Volumen etwas anderes heraus. Schreib doch mal bitte deinen Ansatz, nur für das Volumen auf. |
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| 15.01.2009, 17:03 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ich entschuldige mich dafür dass ich nicht den Editor verwendet habe. nun habe ich es wieder mal durchgerechnet und erhalte für die Masse 64/12 raus, also 5,3333 und für den Schwerpunkt 0,67 ich frage nur mal nach ob es stimmt...wenn nicht schreibe ich mit dem Formeleditor meine Rechenschritte auf und wir werden dann hoffentlich den Fehler finden. vielen dank |
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| 15.01.2009, 17:15 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die Masse habe ich genau 2Pi raus ... Schreib dein Lösugnsweg hin und wir finden den Fehler. |
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| 15.01.2009, 20:41 | djslaughter | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das wäre mein ansatz zur berechnung der masse...das zweite integral ist natürlich nach y und nicht nach x...der edtor hat es mir nicht angenommen. ich habe das mit den kugel- bzw kreiskoordinaten nicht so richtig verstanden... anscheinend ist das falsch was ich da rechne 
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| 16.01.2009, 05:52 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ist es auch. Gehen wir mal so vor: Zunächst vereinfachen wir das Problem und betrachten den Paraboloiden nur im ersten Oktanden. Kannst du dir das irgendwie vorstellen? Jetzt müssen wir versuchen, das von dem Paraboloiden und den Ebenen durch die x-z, bzw. y-z-Achse beschriebene Gebiet als Normalbereich zu schreiben. D.h. wir drücken y in Abhängigkeit von y aus und z in Abh. von x und y. Für z ist das nicht sonderlich schwer. Dort haben wir z.B. Das ist klar, oder? Kannst du nun irgendwie y durch x ausdrücken? Tipp: z=0 setzen und umstellen. Was du erhälst, sind dann deine Integrationsgrenzen. Dann gehts weiter. Wie gesagt, mit kartesischen Koordinaten etwas schwieriges Integral, vielleicht dürft ihr ja Maple oder Mathematica zum ausrechnen verwenden... |
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