Stetigkeit des Arsinh

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07.01.2009, 21:39	Flipu	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit des Arsinh Hallo! Erst eine Frage! Ich überlege gerade, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Es ist zu zeigen, dass der $\begin{eqnarray} \mathrm{ar\, sinh} : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig ist. Ferner die Umkehrfunktion (vorgegeben) zu zeigen. Die Umkehrfunktion ist ja leicht zu finden, und gegeben mit, $\begin{eqnarray} \mathrm{Ar\, sinh}(x) := \ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) \end{eqnarray}$ Nun ist ja Logarithmus stetig auf seinem Definitionsbereich, also auf $\begin{eqnarray} (0, \infty) \end{eqnarray}$ , die identische Abbildung $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sowieso, $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ auch. Also ist auch die Verknüpfung $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray}$ , denn die Summe mit einer konstanten Zahl ist offenbar stetig und die Wurzelfunktion ebenfalls. Somit ist die Summe $\begin{eqnarray} x + \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray}$ auch wieder stetig und wegen $\begin{eqnarray} \forall x \in \mathbb R: x + \sqrt{x^2+1} > 0 \end{eqnarray}$ ist auch auch $\begin{eqnarray} \ln{\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)} \end{eqnarray}$ stetig. Kann ich so argumentieren? Meine andere Idee: Nach einem Satz ist ie Umkehrfunktion genau dann stetig, wenn auf dem Intervall $\begin{eqnarray} I \subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige und streng montone Funktion ex., dann ist auch $\begin{eqnarray} f^{-1}: f(I) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig. Darf ich hier den Satz benutzen? Die strenge Mononie von $\begin{eqnarray} \mathrm{sinh} \end{eqnarray}$ ist ja leicht zu beweisen, mich stört die Beziehung der "Teilmenge", denn im Internet wurde es als echte Teilmenge definiert, deshalb bin ich am Grübeln. Übrigens: Aus $\begin{eqnarray} \mathrm{sinh}: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm{ar \, sinh}: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ folgt doch eigentlich direkt, dass der sinh bijektiv ist, denn Def- und Wertebereich sind ja bei den Funktionen gleich. Muss ich das wirklich noch explizit zeigen? Mfg
07.01.2009, 21:57	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit des Arsinh Sorry, aber ich kann mit arsinh und Arsinh nicht viel anfangen. Was genau verstehst du darunter?
07.01.2009, 22:00	Flupi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Damit ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus gemeint, Area Sinus hyperbolicus. Mit der Definition $\begin{eqnarray} \sinh{x} := \frac{1}{2}(\exp(x) + \exp(-x)) \end{eqnarray}$ folgt für die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \mathrm{ar\, sinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 +1 }\right) \end{eqnarray}$
07.01.2009, 22:02	Flupi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, eben kapiert, was du meinst. Es ist dasselbe, ich hab nur einmal vom Aufgabenblatt abgeschrieben und dann von meinen, da stands klein..
07.01.2009, 22:47	Flupi	Auf diesen Beitrag antworten »
Sonst noch jemand eine Idee?
08.01.2009, 13:26	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde aus deiner Anfrage nicht schlau: Sollst du nun zeigen, dass arsinh stetig ist, oder dass sinh stetig ist?
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08.01.2009, 22:00	Flupi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich soll zeigen, dass arsinh stetig ist.
08.01.2009, 22:06	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige z.B., dass sinh bijektiv ist.
08.01.2009, 22:39	Flupi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit des Arsinh Ok, dass hab ich schon in der Teilaufgabe davor. Ich wusste nich, dass man das daraus schließen kann. Wir hatte auch einen: Die Umkehrfunktion genau dann stetig, wenn auf dem Intervall $\begin{eqnarray} I \subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ eine stetige und streng montone Funktion ex., dann ist auch $\begin{eqnarray} f^{-1}: f(I) \to \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig. Wenn ich also die Monotonie von sinh zeigen würde, kann ich doch diesen Satz anwenden, oder? Das mit der Teilmenge hat mich etwas stutzig gemacht... Mfg

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