Monotonie Sinus Funktion

08.01.2009, 12:10

imag

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Monotonie Sinus Funktion

Hallo
ich hätte eine Frage: Es geht um folgende Aufgabe:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} sinh(x): \mathbb R ->\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} sinh(x):=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x \in \mathbb R) \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass sinh streng monoton wachsend ist mit W(sinh)= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , und bestimme $\begin{eqnarray*} sinh^{-1}:\mathbb R->\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Ich kenne die Vorraussetzung für streng monoton wachsend: $\begin{eqnarray*} f(x_1)<f(x_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1<x_2 \end{eqnarray*}$ und ich weiß auch dass ich den Zwischenwertsatz verwenden muss. Mein Problem ist jetzt, wie ich dies auf diese Aufgabe anwende. Kann mir da jemand weiterhelfen?

08.01.2009, 12:15

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Wieso mußt du das über den Zwischenwertsatz machen? Wenn du es über die Ableitung machen darfst, wäre das ein Einzeiler. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2009, 12:23

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Darf ich aber nicht. Wir haben doch keine Ableitungen (zumindest auf der uni) gemacht. deswegen darf ich die nicht verwenden.

08.01.2009, 12:26

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Darfst du denn dann verwenden, daß die e-Funktion monoton steigt?

08.01.2009, 12:28

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
ja das haben wir gemacht und bewiesen. ich kenne auch den zusammenhang zwischen e funktion und ln funktion. Aber keine Ableitungen.

08.01.2009, 12:38

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Mein problem ist halt die Anwendung von allem was ich habe hier.

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08.01.2009, 12:41

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Wenn du die Monotonie der e-Funktion nehmen kannst, ist das ebenfalls leicht zu zeigen. Ohne Zwischenwertsatz, bei dem ich auch nicht sagen kann, wie man das damit machen will.

08.01.2009, 12:44

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Kannst du mir einen Tipp geben wie ich das mache?

08.01.2009, 12:50

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Also da sehe ich jetzt kein großes Problem, daß man da großartig noch einen Tipp geben muß. Einfach formal durchziehen und nutzen, daß die Addition zweier monotoner Funktionen wieder monoton ist.

08.01.2009, 12:58

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
ok ich weiß dass $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend ist. aber das heißt doch noch lange nicht dass $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ auch streng monoton wachsend ist oder? und das 1/2 davor brauche ich auch nicht zu beachten?

08.01.2009, 13:10

tmo

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Schau doch mal hier:

Zitat:

Original von klarsoweit
Einfach formal durchziehen und nutzen, daß die Addition zweier monotoner Funktionen wieder monoton ist.

$\begin{eqnarray*} e^x-e^{-x} = e^x + (-e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von imag
aber das heißt doch noch lange nicht dass $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ auch streng monoton wachsend ist oder?

Das heißt sogar was ganz anderes. Was weißt du denn über die Monotonie von $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2009, 13:12

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
eigentlich nichts. das ist ja mein problem.

08.01.2009, 13:13

WebFritzi

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Ich mache es dir jetzt ganz leicht... Sei x < y.

Dann folgt $\begin{eqnarray*} e^x < e^y. \end{eqnarray*}$ Und $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist monoton [...]. Also gilt...

--------------------

Zu zeigen ist: sinh(x) < sinh(y) <==> sinh(x) - sinh(y) < 0.

$\begin{eqnarray*} \sinh(x) - \sinh(y) = \frac{(e^x - e^{-x})-(e^y - e^{-y})}{2} = \frac{(e^x - e^y) + (e^{-y} - e^{-x})}{2} \end{eqnarray*}$

08.01.2009, 13:25

imag

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Sei x < y.

Dann folgt $\begin{eqnarray*} e^x < e^y. \end{eqnarray*}$
Das sagt mir ja dass $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist.
Und $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend. Also gilt $\begin{eqnarray*} e^x > e^y. \end{eqnarray*}$

--------------------

Zu zeigen ist: sinh(x) < sinh(y) <==> sinh(x) - sinh(y) < 0.

$\begin{eqnarray*} \sinh(x) - \sinh(y) = \frac{(e^x - e^{-x})-(e^y - e^{-y})}{2} = \frac{(e^x - e^y) + (e^{-y} - e^{-x})}{2} \end{eqnarray*}$ [/quote]

08.01.2009, 13:31

imag

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also das was zu zeigen ist ist ganz kalr. das verstehe ich. aber ich glaub das andere passt nicht so ganz oder?

08.01.2009, 13:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von imag
Und $\begin{eqnarray*} x\mapsto e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend. Also gilt $\begin{eqnarray*} e^x > e^y. \end{eqnarray*}$

Und was gilt dann für $\begin{eqnarray*} x \mapsto -e^{-x} \end{eqnarray*}$ ?

08.01.2009, 13:40

imag

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das müsste dan wieder monoton steigend sein weil man sozusagen mit -1 multilpiziert.

08.01.2009, 13:44

klarsoweit

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Ja. Und jetzt bastel das ganze mal zusammen.

08.01.2009, 13:51

imag

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$\begin{eqnarray*} \sinh(x) - \sinh(y) = \frac{(e^x - e^y) + (e^{-y} - e^{-x})}{2} \end{eqnarray*}$
so ich habe jetzt diese gleichung. und ich muss zeigen dass diese kleiner 0 ist oder?

08.01.2009, 13:56

imag

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und ich habe sozusagen 2 e s , die monoton wachsend sind und 2 die monoton fallend sind. und das gesamte teile ich durch 2. wie weiß ich jetzt ob diese kleiner null sind?

08.01.2009, 14:10

klarsoweit

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Meine Güte. unglücklich

unglücklich

Es ist doch schon alles gesagt:

$\begin{eqnarray*} x < y \Rightarrow e^x < e^y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < y \Rightarrow e^{-x} > e^{-y} \end{eqnarray*}$

08.01.2009, 14:25

imag

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ist ok habs verstanden. und somit hätte ich bewiesen dass es streng monoton wachsend ist. danke! ist das dann auch streng monoton wachsend mit $\begin{eqnarray*} W(sinh)=\mathbb R \end{eqnarray*}$
jetzt muss ich noch $\begin{eqnarray*} sinh^{-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen. ich weiß dass $\begin{eqnarray*} ln :=(exp_{\mathbb R})^{-1} \end{eqnarray*}$
aber irgendwie nichts weiter.

08.01.2009, 14:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von imag
ist das dann auch streng monoton wachsend mit $\begin{eqnarray*} W(sinh)=\mathbb R \end{eqnarray*}$

Ist das eine Ferage oder eine Feststellung. Streng monoton wachsend ist es, wenn du in deinem Monotoniebeweis immer das echte Kleiner- oder Größerzeichen verwendest.

Zitat:

Original von imag
jetzt muss ich noch $\begin{eqnarray*} sinh^{-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Löse y = sinh(x) nach x auf.

08.01.2009, 14:50

imag

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ist das dann auch streng monoton wachsend mit $\begin{eqnarray*} W(sinh)=\mathbb R \end{eqnarray*}$

das stand so in der aufgabenstellung, als zu zeigen. kann das sein dass ich vllt deswegen noch irgendwie den zwischenwertsatz anwenden muss?

08.01.2009, 14:56

imag

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Zitat:

Original von imag
jetzt muss ich noch $\begin{eqnarray*} sinh^{-1} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Löse y = sinh(x) nach x auf.

wenn ich ganz ehrlich bin habe ich keine ahung wie ich das nach x auflösen kann.

08.01.2009, 15:03

klarsoweit

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Wie wäre es, wenn du für sinh(x) den Ausdruck mit der e-Funktion einsetzt?

08.01.2009, 15:59

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
$\begin{eqnarray*} sinh(x):=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})=\frac{1}{2}(y-y^{-1}) \end{eqnarray*}$
stimmt das bis dahin?

08.01.2009, 16:42

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
verwirrt

verwirrt

Auf der rechten Seite stand doch nur das y, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) = y \end{eqnarray*}$

08.01.2009, 22:05

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
ohh ok. hatte da was falsch verstanden.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(e^x-e^{-x}) = y<=>(e^x-e^{-x})=2y \end{eqnarray*}$
kann ich jetzt den ln anwenden?

09.01.2009, 09:28

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Die ln-Funktion kannst du immer anwenden, sofern das Argument positiv ist. Die Frage ist, ob es dir was bringt. smile

smile

Substituiere u = e^x.

09.01.2009, 09:34

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
hätte ich dann $\begin{eqnarray*} u-u^{-1}=2y \end{eqnarray*}$ also entweder ist das falsch was ich gemacht habe oder ich erkenne nicht was mir das bringt.

09.01.2009, 09:41

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Das ist richtig. Und diese wunderschöne Gleichung kann jeder Mittelstufenschüler lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.01.2009, 10:00

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
die ich ja jetzt nach u auflösen muss?

09.01.2009, 10:01

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Genau. smile

smile

09.01.2009, 10:11

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
dann müsste $\begin{eqnarray*} u=\pm \sqrt{1+y^2}+y \end{eqnarray*}$ sein.
kann ich dann für u nochmal das e^x einsetzen und dann den ln verwenden?

09.01.2009, 10:23

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
OK. Allerdings kannst du das Minus vor der Wurzel streichen, da u immer positiv sein muß.

Zitat:

Original von imag
kann ich dann für u nochmal das e^x einsetzen und dann den ln verwenden?

Ja.

09.01.2009, 10:27

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
dann müsste $\begin{eqnarray*} x=ln(\sqrt{1+y^2}+y) \end{eqnarray*}$ sein.
ist das dann mein $\begin{eqnarray*} sinh(x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

09.01.2009, 10:40

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} sinh(y)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wobei die -1 auch mißverständlich ist. Man nennt die Umkehrfunktoin von sinh daher auch arsinh.

09.01.2009, 10:42

imag

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RE: Monotonie Sinus Funktion
also mein $\begin{eqnarray*} sinh^{-1} \end{eqnarray*}$ das ich bestimmen sollte?

09.01.2009, 10:59

klarsoweit

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RE: Monotonie Sinus Funktion
Ja. Diese vielen Klein-Klein-Fragen machen mich schon etwas stutzig.

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