Volumsberechnung

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Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »
Volumsberechnung
Hallo!
Ich würde mich freuen wenn jemand mir helfen könnte folgende Aufgabe zu lösen:

Der Tank eines Gasfeuerzeugs hat die Gestelt eines 6cm langen Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel. Welchen Innendurchmesser sollte der Tank erhalten, damit er ca. 7cm³ Gas fasst?

Zunächst habe ich die Formel für das Volumen eines Zylinders und einer Kugel herausgesucht:

V= (Pi *r²*h)+(4/3 * Pi * r³ /2)

jetzt würde ich die 6cm bei der Höhe einsetzen und die 7cm³ für das Volumen und somit r ausrechnen.
Also:

7= (Pi *r²*6)+(4/3 * Pi * r³ /2)

Ist das richtig? Oder muss ich noch irgendwelche Ableitungen bilden?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. smile

Ableitungen sind nur dann zu verwenden, wenn für bestimmte Größen der Extremwert gefragt ist.

mY+
Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe für d ca 0,75cm berechnet. Stimmt das?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre aber ein sehr "schlankes" Feuerzeug! Wie hast du denn das berechnet?
Es ergibt sich eine kubische Gleichung, die mittels eines Näherungsverfahrens (Newton, Regula Falsi, ..) zu lösen ist.

r = rd. 0,59 cm -> d = rd. 1,18 cm

mY+
Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Gleichung einfach immer weiter aufgelöst.
Wie muss ich es den berechnen?
Könnten Sie mir bitte den Ansatz aufschreiben?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz steht ja schon da, es ist die Gleichung, die du angeschrieben hast. Und eben diese ist eine kubische Gleichung, in der auch noch ein quadratisches Glied steckt. Da geht nix anderes als Näherung, ausser Cardano, aber den tun wir uns hier sicher nicht an.

mY+

Übrigens habe ich den Titel "Flächenberechnung" auf "Volumsberechnung" geändert.
 
 
Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »

und in welche funktion soll ich das jetzt einsetzen? in die newtionsche? wie muss ich denn dann die gleichung noch umstellen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dort, von wo die Aufgabe herkommt, solltest du auch ein Verfahren gezeigt bekommen haben, wie man Gleichungen iterativ (näherunsweise) löst. Oder es wird bereits vorausgesetzt? Du hast bisher nichts von deinem Wissensstand oder Klassenstufe verraten. Welche technische Hilfsmittel (GTR, Rechenprogramm, etc) stehen dir zur Verfügung?

Die Gleichung ist auf Null zu bringen und von dieser Funktion sind dann die Nullstellen zu berechnen. Mittels Wertetabelle wird auf Vorzeichenwechsel zu untersuchen sein und dann ist das Verfahren mit dem entsprechenden Anfangswert (Startwert) zu starten.

mY+
Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben das Newton Verfahren gerade begonnen.
Ja mmh Taschenrechner und Tafelwerk stehen mir zur Verfügung.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Schaue zunächst mal hier:

Herleitung Regula Falsi so ok?

Newtonsches Verfahren

Newtonverfahren

mY+
Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »

also:

0= (Pi *r²*6)+(4/3 * Pi * r³ /2) -7

und dann?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir werden das Beispiel nicht vorrechnen. Wie weit bist du denn schon, dass du das Newton-Verfahren nun auf diese Gleichung anwenden kannst? Darfst bzw. willst du das mit Excel rechnen? Oder kann dein Taschenrechner Nullstellen bestimmen? Bei den Links solltest du ja gesehen haben, wie der Algorithmus funktioniert.
Für das schriftliche Rechnen bringe die Gleichung in die Form



und berechne auch die Ableitung f'(x), deren Werte für das Newton-Verfahren notwendig sind. Da du die Lösung kennst, kannst du mit einem Startwert in deren Nähe beginnen (z.B. x = 0,5).

mY+
Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann probier ich das mal.
Vielen Dank.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Übrigens habe ich den Titel "Flächenberechnung" auf "Volumsberechnung" geändert.


Das interessiert mich immer noch.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

OT:

"Volumenberechnung" - das wäre noch zu diskutieren, aber das gefällt mir eigentlich nicht besonders. Denn wenn der Genetiv zu verwenden ist, heisst das ja: "Berechnung eines/des Volumens", daher - als Kompromiss - "Volumensberechnung".

Andere Beispiele für das "s"

Kindesentführung (soll das wirklich dann Kindentführung heissen?)
Standesmeldung
Bundesdienst
Modenschau (Genetiv, Plural)
....

da ist doch auch überall das "s" vom Genetiv drinnen und das stört doch offensichtlich auch niemanden, oder?
Daher finde ich das "s" durchaus gerechtfertigt.
Allerdings tendiere ich auch eher zu "Volumensberechnung" als zu "Volumsberechnung".

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

[Off-Topic]
Jetzt weiß ich zumindest, wo das s herkommt. Aber wieso die ganze Silbe -men unterschlagen wird (bei "Volumsrechnung"), verstehe ich nicht.

Vom Gefühl her würde ich sagen: "Volumensberechnung" ist falsch, es muß "Volumenberechnung" heißen. Nur zählen unter uns Mathematikern in solchen Fragen Gefühle nicht allzu sehr, also werde ich in nächster Zeit die Augen nach Belegen offenhalten. Auffällig ist jedenfalls, daß das Fugen-s manchmal auftritt, manchmal nicht. Wenn uns Deutschsprachigen das schon so schwer fällt, wie ist das dann bei Leuten, die Deutsch nicht als Muttersprache haben? Seufz ...

Integralrechnung, aber Quartalsrechnung
Differentialrechnung, aber Differentiationsregel
[/Off-Topic]
Claudia Eggert Auf diesen Beitrag antworten »

sind die gleichungen so richtig?

f(r)= 2,1r³+ 6Pir²-7
f´(r)= 6,3r²+37,7r

und wie komme ich an den anfangswert wenn ich die antwort nicht weiß?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon mit mehr Stellen rechnen, damit das Resultat nicht zu ungenau wird.





Der Startwert kann zwischen jene zwei Werte des Funktionsargumentes, bei welchen ein VZW (Vorzeichenwechsel) stattfindet, gelegt werden oder in in deren Nähe. Dazu erstellst du dir entweder eine Wertetabelle (r-Werte von 0 an in 0,2 - Schritten) oder plottest die Funktion (hier gibt es einen Funktionenplotter!). Negative Lösungen sind für diese Aufgabe nicht sinnvoll.

;


Unkritische Startwerte sind 0,5 oder 0,6

mY+
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