Newton-Verfahren

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Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren
Wir haben in der Schule mit dem Newton-Verfahren angefangen und folgende Hausaufgabe bekommen, da iches leider nicht wirklich verstanden habe wäre es nett, wenn mir jemand behilflich sein kann mir das Newton-Verfahren zu erklären.
Vielleicht jeweils an einer Aufgabe davon damit ich die restlichen alleine lösen kann...

Aufgabe 1

Bestimmen sie die einzige Nullstelle der Funktion f mithilfe des Newton-Verfahrens. Brechen Sie ab sobald die vierte Dezimale sich nicht mehr ändert.

a) f(x)= x³+x-1
b) f(x)= x³-2x+3
c) f(x)= x^5-5x+5
d) f(x)= Wurzel x - x² +10


Aufgabe 2

Lösen Sie die gegebene Gleichung auf drei Dezimalen genau. Fertigen Sie zunächst eine Skizze der Graphen der beiden involvierten Terme an.

a) x³-1= - x²
b) x²-2= Wurzel x
c) 2-0,5x²=1/x+1
d) 1/x+2= Wurzel x
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wie lautet die Formel für die Newton-Iteration?

Welchen Startwert würdest du in diesem Falle (Aufgabe 1a) wählen? (Wertetabelle!)
 
 
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

x n+1 = x n - (f(xn) / f´(xn))

ix -1 0 1
y -3 -1 1

ich würde -1 nehmen.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also die Formel lautet

Warum würdest du denn die -1 auswählen? Es ist doch viel vorteilhafter, wenn der Startwert schon möglichst Nahe bei der Nullstelle liegt. In diesem Fall solltest du also 0 oder 1 wählen.
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

weil wenn x=0 y=-1 rauskommt aber da hab ich wohl falschrum gedacht.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig Augenzwinkern
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

Also setze ich jetzt für x=1 ein und für f(x)=x³+x-1 und f´(x)=3x²+1
ja?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann nirgends für x irgendetwas einsetzen, oder wo willst du das machen? Augenzwinkern

bezeichnet deinen Startwert, dieser ist hier also .

und sind denke ich klar.

Das Ganze nun einsetzen, dann hast du , das ist dann ein genauerer Wert für die Nullstelle. Dann wiederholst du den Vorgang solange, bis die gewünschte Anzahl an Nachkommastellen vorhanden ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ein paar Werte
code:
1:
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new
 
Es wird eine Nullstelle mittels Newton approximiert
Funktion in bisektionf.m anlegen
Ableitung in newtondf.m anlegen
 
Intervall [a,b] eingeben:
a= -1
b= 1
 
Gewünschte Genauigkeit: eps= 10^(-4)
 
Hat die Funktion auf [a_0,b_0] mehrere Nullstellen? (0-ja, 1-nein) 1
Startwert eingeben: x0= 1
 
  x_n+1            x_n           Delta
============================================
  0.750000        1.000000       0.250000 
  0.686047        0.750000       0.085271 
  0.682340        0.686047       0.005403 
  0.682328        0.682340       0.000017 




Und tschüss. Wink
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt bei Aufgabe 1a)0,6823 raus?
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand jetzt bitte noch Aufgabe 2 erklären wäre echt nett.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

1a) ist richtig, das siehst du auch an tigerbines post


Zur 2.)

Das ist doch genau das selbe wie die 1)?
Nur hier brauchst du keine Wertetabelle, denn du kannst/darfst/sollst den Graphen zeichnen (lassen) und dann nachsehen wo die Nullstelle ungefähr liegt und das dann als Startwert nehmen.
Vorher musst du nur ganz kurz umformen, sodass 0 auf einer Seite steht.
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

also f(x)= x³+x²-1

versteh diesen Satz hier nicht :

Fertigen Sie zunächst eine Skizze der Graphen der beiden involvierten Terme an.
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "die beiden involvierten Terme" sind die beiden Terme rechts und links des Gleichheitszeichens gemeint. Du sollst diese separat zeichnen lassen. Bei 2a) also



Und jetzt mal umgestellt:



Na? Vielleicht erkennst du, warum man das auch so machen kann Augenzwinkern
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

Bei -x² weiß ich ja dass es eine Parabel ist, aber bei x³-1 weiß ich gar nicht wie ich das ohne Wertetabelle zeichnen kann. Kannst du mir das bitte mal erklären?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

1. Möglichkeit: Wertetabelle erstellen. Wenn man nicht weiss, wie eine Funktion aussieht, dann macht man das eben mit einer Wertetabelle. Den Graph der Funktion solltest du dir allerdings mal merken.

2. Möglichkeit: Die Funktion, wie hier, von einem Programm zeichnen lassen. Da gibts z. B. das Geogebra, das ist sehr gut für Schüler.

Nun zurück zur eigentlichen Aufgabe Augenzwinkern
Kannst du aus der ersten Zeichnung ablesen, welchen Startwert du verwenden könntest? Und erkennst du irgendeinen Zusammenhang zwischen 1. und 2. Zeichnung?
Maria Eisenerz Auf diesen Beitrag antworten »

also ich kann 0,75 ablesen.
und als zusammenhang kann ich erkennen, dass man halt bei beiden bildern diesen wert ablesen kann.

wie sieht denn eine funktion mit x³ aus bzw wie kann ich mir das einprägen?
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, der Zusammenhang besteht darin, dass der x-Wert des Schnittpunkts (im oberen Bild) und der x-Wert der Nullstelle (im unteren Bild) übereinstimmen.

Die 0.75 kann man relativ gut ablesen, aber das ist NICHT(!) die Nullstelle der Funktion. Da musst du natürlich noch das Newton Verfahren anwenden.


Und so sieht (bzw. ) aus:


(Zusammengesetzte Funktionen wie z. B. musst du dir natürlich nicht einprägen, ich glaube das schafft fast niemand Augenzwinkern )
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