Körper

08.01.2009, 14:08

keine ahnung

Körper

Hallo,
ich sitze an dieser Aufgabe:
Betrachte den Körper $\begin{eqnarray*} K:= \mathbb Q( \alpha ) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Gleichung (*) $\begin{eqnarray*} \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha +2=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Schreibe dann die Elemente $\begin{eqnarray*} x,y \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=( \alpha^2 + \alpha + 1)( \alpha^2 + \alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=( \alpha -1)^{-1} \end{eqnarray*}$
jeweils in der Form $\begin{eqnarray*} a\alpha^2 + b \alpha+c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Ich hab bisher $\begin{eqnarray*} x=( \alpha^2 + \alpha + 1)( \alpha^2 + \alpha)=\alpha^4 + 2\alpha^3+2\alpha^2+\alpha \end{eqnarray*}$ und daraus folgt mit (*) $\begin{eqnarray*} x=\alpha^4 + \alpha^3+\alpha^2+\alpha-2 =0 \end{eqnarray*}$
Aber das passt ja nicht.
Was mach ich falsch?

08.01.2009, 17:07

keine ahnung

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann keiner helfen? Zumindest n Lösungsansatz!? Bitte!

08.01.2009, 17:14

Hinweis123

Auf diesen Beitrag antworten »

Eventuell kan eine Polynomdivision helfen.

08.01.2009, 17:19

Hinweis123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir noch nen Tipp:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist doch Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f = t^3+t^2+t+2 \in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ . Dann kann man eine Polynomdivision durch $\begin{eqnarray*} (t-\alpha) \end{eqnarray*}$ ausführen.

09.01.2009, 17:38

keine ahnung

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hinweis123
Ich gebe dir noch nen Tipp:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist doch Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f = t^3+t^2+t+2 \in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ . Dann kann man eine Polynomdivision durch $\begin{eqnarray*} (t-\alpha) \end{eqnarray*}$ ausführen.

da kommt doch nur mist raus, wenn ich f unglücklich

t-a) rechne

09.01.2009, 18:05

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper
Du hast:
$\begin{eqnarray*} x=( \alpha^2 + \alpha + 1)( \alpha^2 + \alpha)=\alpha^4 + 2\alpha^3+2\alpha^2+\alpha \end{eqnarray*}$

und:
(*) $\begin{eqnarray*} \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha +2=0 \end{eqnarray*}$
sowie: (mit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ durchmultiplizieren)
(**) $\begin{eqnarray*} \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 +2\alpha =0 \end{eqnarray*}$

PS: Und bitte nicht nach drei Stunden pushen! Das bringt wirklich nichts - ist eher kontraproduktiv.

10.01.2009, 19:12

keine ahnung

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Damit bekomm ich dann schon mal $\begin{eqnarray*} x=-2-\alpha \end{eqnarray*}$ heraus.
Jetzt bleibt noch die Frage wie ich das mit y mache.
Als Tipp wurde mir gesagt $\begin{eqnarray*} (\alpha -1)^{-1}=(a \alpha^2+b\alpha+c) \end{eqnarray*}$
Das wäre ja äquiv. zu $\begin{eqnarray*} 1=(\alpha -1)(a \alpha^2+b\alpha+c) \end{eqnarray*}$
Wenn ich jetzt (*) nach $\begin{eqnarray*} \alpha^2 \end{eqnarray*}$ auflöse und einsetze bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} 1=a\alpha^3+(b-a)\alpha^2+(c-b)\alpha-c \end{eqnarray*}$
aber das bringt mich auch nicht weiter

11.01.2009, 11:56

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Körper
Du kannst hier
$\begin{eqnarray*} a\cdot(\alpha^3 + \alpha^2 + \alpha +2)=a\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$
abziehen und erhältst ein Polynom zweiten Grades, für welches Du dann einen Koeffizientenvergleich machen kannst.

Neue Frage »

Antworten »

Körper

Verwandte Themen