Tschebyscheff Polynome |
| 08.01.2009, 15:22 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Tschebyscheff Polynome Ich habe hier eine Aufgabe vor mir liegen, die uns die Tschebyscheff Polynome näher bringen soll. Ich habe den Wikipedia Artikel dazu gelesen und auch Teile des Workshops: [WS] Orthogonale Polynome Nun, etwas, was mir nicht ganz klar ist: Im Workshop sieht es so aus, als wären die Tschebyscheff Polynome wirklich nur auf [-1,1] definiert. Dies gilt imo aber nur für die geschlossene Formel. Mit der Rekursionsformel erhält man doch durchaus Polynome, die über diesen Bereich hinaus gehen oder nicht? Bzw. man kann hier den Definitionsbereich erweitern. Ich würde vielmehr sagen, die Tschebyscheff Polynome sind durch die Rekursion definiert und für x € [-1,1] gibt es noch die geschlossene Formel. Meine eigentliche Frage dreht sich nämlich um die Nullstellen. Setzt man hier die geschlossene Formel voraus, ist das ja nicht schwer diese zu finden (siehe Workshop), Wie kann ich mir denn aber wirklich sicher sein, dass alle Nullstellen im Intervall [-1,1] liegen? Erstmal soweit 
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| 08.01.2009, 17:02 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Tschebyscheff Polynome Hallo 
Die Definitionsmenge der Polynome ergibt sich aus der Darstellung:
Wenn man dann die Additionstheoreme nutzt, und auf eine Rekursionsformel kommt, ist es natürlich verwunderlich, dass dort Polynome stehen, die ja als solche nicht auf[-1,1] beschränkt sind. Aber das kleingedruckte aus der Defintion bleibt ja erhalten. Man könnte also sagen, dass wir auf [-1,1] die T-Polynome (T) in eine "schöne" Monomdarstellung (M) bringen können. Was die Nullstellen betrifft, so ist es doch eher interessant, dass man über die T-Darstellung die Nullstellen der M-Darstellung kennt. Ihre Anzahl verrät uns dann doch auch, dass wir alle Nullstellen gefunden haben. |
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| 08.01.2009, 17:21 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey
Mit dem Fundamentalsatz der Algebra kann es ja höchstens n Nullstellen geben und die "verbraten" wir in dieser Darstellung schon, so meinst du das etwa, oder? 
Deswegen lassen wir den Index k auch nur von 1..n laufen (für die Nullstellen ) Gruß, aRo |
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| 08.01.2009, 20:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hups, hab gar nicht gesehen, dass du geantwortet hast.... 
Genau, wir zeigen "einfach" dass wir in [-1,1] n gefunden haben. Damit gibt es keine weiteren. Wie lautet denn die eigentliche Aufgabe? |
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| 08.01.2009, 21:00 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist ja nicht schlimm...
Die Teilaufgabe, um die sich die Frage dreht, lautet einfach: Zeigen Sie: Die Nullstellen von sind für Und mich hatte halt ein wenig gewundert, dass alle Nullstellen im besagten Intervall liegen sollen, bzw. wie man sich da sicher sein kann. Ich bin mir auch noch immer nicht wirklich sicher, ob ich verstehe, wie man "einfach" zeigen kann, dass wir in [-1,1] schon n gefunden haben. Woher weiß ich genau, wie weit ich meinen Index k laufen lassen darf? (und damit bestimme, wie viele Nullstellen in dem Intervall vorliegen). |
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| 08.01.2009, 21:05 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also dann ist das schwere ja schon geleistet. Man muss ja nur einsetzten und zeigen, dass n Nullstellen da sind. Und dann weiß man, dass man alle hat. Du solltest k ja gar nicht bestimmen. Setze doch mal k=(n+1) ein. Was kommt dann raus? |
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| 08.01.2009, 21:20 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja, da kommt raus. Und was sagt mir das? Könnte doch auch eine Nullstelle sein? Also wer sagt mir dass k von 1 bis n läuft und z.B. nicht von 3 bis n+2 oder sowas
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| 08.01.2009, 21:27 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sagt dir wohl keiner... sind nur die einfachsten Werte. Es muss ja zum Zuge kommen, dass cos periodisch ist. Mach doch mal ne Tabelle von 1 bis 2n
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| 08.01.2009, 21:54 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, ich bin überzeugt. Dankeschön
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| 08.01.2009, 21:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen.
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