newton-verfahren

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elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »
newton-verfahren
kann die nullstelle mit dem newton-verfahren exakt bestimmt werden oder bleibt es immer nur eine näherung und kann man dass auch an hand des graphen erklären ?
ich nehm mal an sie kommt exakt und der algorithmus gibt dann immer wieder die nullstelle aus
und wieso nähern sich die tangenten überhaupt der nullstelle hat da der herr newton glück gehabt ^^
Hinweis123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel . Diese hat in eine Nullstelle, nämlich . Kann man diese genau berechnen?
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

aber so lang die nullstelle keine irrationale zahl ist kann ich sie exakt bestimmen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht.

ist eine exakte algebraische Lösung. Das hat nichts mit der Tatsache zu tun, dass sie eine irrationale Zahl ist und unendlich viele Dezmalstellen hat.

Die Gleichung 3^x = x + 3 kann man nicht einmal mehr algebraisch lösen, d.h. man keinen Term für x angeben. Somit zeichnet man sich diese Funktionsgleichung und arbeitet sich mit der Tangentenmethode ganz nahe an die Nullstelle heran. So nahe man ihr jedoch auch kommt, es wird nie eine exakte Lösung, sondern immer nur eine näherungsweise sein.
Da hat also der Herr Newton nicht nur kein Glück gehabt, sondern er wusste genau, was er tat.

mY+
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh, so ganz verstehe ich deine Argumentation nicht mYthos. Bei der Beispielaufgabe von Hinweis 123 kennen wir ja schon OHNE Newton die Lösung. Aber nur in Symbolschreibweise.

Das Verfahren nehmen wir doch, um diesem Symbol ein dezimal gesicht zu geben. Werden aber in keinen Iterationsschritt die exkate Lösung haben.

Interessant ist nun die Frage, woran das liegt. Imho kann man nicht generell sagen, dass Newton NIE die exakte Lösung liefert, eine einfache "Gerade" als Funktion sollte da als Gegenbeispiel genügen.

Aber i.A. approximiert es die Lösung beliebig genau für ein e>0.

Liebe Grüße Wink
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte darauf antworten

"... aber so lang die nullstelle keine irrationale zahl ist kann ich sie exakt bestimmen? ..."

Sorry, da habe ich in der Eile was falsch interpretiert, "eine" statt "keine"!
Hast natürlich Recht, danke!

P.S: Heut' ist ein extrem stressiger Tag im Forum, muss mal Urlaub von nehmen Big Laugh

LGr
mY+
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich vom Threadsteller gerne mal eine Begründung hören hören, was im rationalen Fall gilt. Liefert der Algo da immer nach endlichen vielen Schritten die exakte Lösung?

Beweis oder Gegenbeispiel. Gerne auch antworten von anderen Interessierten.

@mYthos:

relaxx, nur weil viele vorbeikommen, musst du nicht auf alles antworten.cool down, bei den temperaturen doch leicht zu machen
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

bei den beispielen die ich gerechnet habe kam ich immer auf die exakte lösung bei rationalen fall
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

sollte man neben den hoch und tiefpunkten noch andere startwerte vermeiden damit die folge nicht divergiert?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Wendepunkte.

mY+
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab jetzt bei ein paar funktionen den wendepunkt als startwert genommen und bin zur nullstelle gekommen

bei der funktion -2/9*x^3+x^2+x-3 springt der algorithsmus beim start 3 immer zwischen 3 und 0 hin und her gibt es dafür einen besonderen mathematischen ausdruck und ist es zufall dass es bei diesem ounkt passiert weil die stelle 3 keine besonderheit im schaubild darstellt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nullstellen in der Nähe des Wendepunktes können das Verfahren erheblich stören.

mY+
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

Im Falle einer Gleichung mit einer Variablen lassen sich zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung f(x) = 0, d. h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion finden. aus wiki
ich dachte man kann die nullstelle exakt bestimmen oO oder bleibt es tatsächlich immer nur bei einer annäherung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Variable heisst ja nicht, dass die Gleichung immer linear ist. Das Thema lineare Gleichung hatten wir schon. Im andern Falle ist natürlich die Lösung im Allgemeinen nie exakt, auch wenn nach zahlreichen Iterationsschritten erreicht wird, dass sich der Näherungswert scheinbar nicht mehr ändert.

mY+
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

Das Newton-Verfahren ist ein so genanntes lokal konvergentes Verfahren. Konvergenz der in der Newton-Iteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also nur garantiert, wenn der Startwert, d. h. das 0-te Glied der Folge, schon „ausreichend nahe“ an der Nullstelle liegt. Ist der Startwert zu weit weg, kann alles passieren:

* Die Folge divergiert, der Abstand zur Nullstelle wächst über alle Grenzen.

kann mir jmd eine funktion nennen bei der dieses verhalten auftritt ich hab keine idee wie der praph der funktion aussieht
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

Der Startwert kann auf der „falschen“ Seite eines Extremums liegen. Dadurch wird die Monotonie, welche zwischen dem Startwert und der Nullstelle gelten muss nicht eingehalten. Wählt man den Startwert also wie beschrieben erhält man gar keine (x -> Unendlich
könnt mir vllt jmd ein graph und startwert zeigen bei dem dass passiert alle graphen die ich auf zeichne führen immer zur nullstelle oO
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)=arctan(x)
ab einem bestimmten x-wert strebt die netonfolge gegen unendlich jetzt wollte ich den x-wert ausrechnen ab dem die folge gegen die nullstelle strebt
mathenexus.zum.de/html/analysis/numerische_verfahren/weiterfuehrendes/Newton-Geschichte-Verfahren .htm unten! hab ich die formel für lokale konvergenz gefunden und damit herausbekommen -0,765<x>0,765 liegen muss damit es konvergiert dass stimmt zaw aber das intervall müsste eig noch größer sein
meine frage ist jetzt ob ich dass mit dieser formel überhaupt so ausrechenen kann ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das Newtonverfahren konvergiert bis zu einem Intervall von ungefähr [-1,35 ; + 1,35], bei größeren Startwerten liegt dann Divergenz vor, d.h. die Schnittpunkte der Tangenten rücken immer weiter von der Nullstelle (x = 0) weg. Diese Werte wurden durch einen Test in Excel ermittelt. Zu errechnen waren sie im Moment leider nicht. Die in dem Link angegebene Konvergenzbedingung liefert als Grenze tatsächlich nur 0,76538. Weshalb dieser Unterschied besteht, wäre noch eingehender zu untersuchen.

[attach]9612[/attach]

Wir hatten schon, dass Wendepunkte das Verfahren stören können. Bei x = 0 liegt ausser der Nullstelle auch ein Wendepunkt vor.

Ein alternativer Weg wäre jener über die Regula Falsi, da gibt es keine dieser Konvergenzprobleme. In Excel lässt sich dies recht gut berechnen. Das Startintervall ist völlig unkritisch (hier von -2 bis 3). Dies Verfahren konvergiert auf jeden Fall, wenn auch nicht so rasch.

[attach]9614[/attach]

mY+
elhamdüllilah Auf diesen Beitrag antworten »

aber mit einer formel kann man dass intervall nicht berechenen ?
weil ich hab diese formel gefunden für Lokale Konvergenz des Newtonschen Iterationsverfahen
Für den Starwert muss also gelten:
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, mit dieser Formel kann man die theoretischen Grenzen (u) berechnen, allerdings wiederum nur näherungsweise. Leitet man die Funktion zwei Mal ab und setzt alles ein, so ergibt sich



mit der Lösung u = 0,76538 (nur näherungsweise zu berechnen!).

Die im Excel-Test ermittelten erweiterten Grenzen errechnen sich auf diese Weise nicht.

mY+
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