Extremwertaufgabe mit Impliziten Funktionen

08.01.2009, 16:45

Varnish

Extremwertaufgabe mit Impliziten Funktionen

Hallo

Ich muss von Folgender Funktion die Extremstellen bestimmen und diese Nachweisen (Min./Max.): F(x,y) =x^3+y^3 - 3axy =0 (a>0)

Hab das auch schon mal gemacht, aber das ging total daneben unglücklich

Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten werden entfernt. Eigene Bilder hier hochladen!

Kann mir jemand helfen und das korrigieren bzw. sagen wie das besser geht?

Schon mal danke im Vorraus.^^

08.01.2009, 23:17

Abakus

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RE: Extremwertaufgabe mit Impliziten Funktionen
ZB indem du jeden deiner Schritte begründest und angibst, was du da überhaupt machst. Wie soll das jemand verstehen, wenn du es nicht erläuterst?

Insbesondere muss klar sein, wie deine einzelnen Zeilen zusammenhängen. Wenn du einfach nur Gleichungen untereinander schreibst, möchte der Leser schon wissen, wie das zusammenhängen soll (das Minimum sind etwa Folgerungspfeile usw.). Wohlgemerkt: es liegt zu 100% bei dir dies klarzustellen und nicht beim Leser zu raten, was du vielleicht meinen könntest (der Korrektor war da schon sehr milde).

Insgesamt ist das eine Frage des Stils. Ansonsten müssen natürlich die Rechen- und Logikfehler raus (das kommt aber mit besserem Stil eher automatisch).

Grüße Abakus smile

09.01.2009, 11:35

Varnish

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an sich is das ja eigentlich offensichtlich, was da gemacht wurde wenns drum geht exstremwerte zu bestimmen ....:
1. bedingung für existenz nachgewiesen
2. erste ableitung der impliziten funktion
3. diese =0 gesetzt.

aber unklar ist mir: wie kann ich das x konkreter ausrechnen, was wäre ein hinreichendes kriterium für den nachweis der extrempunkte und wie kann ich art der extrema nachweisen ?
denn das liegt offensichtlich nicht an der form sondern am falschen rechenweg.

LG

09.01.2009, 13:41

Leopold

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Bezeichnen wir die durch die Gleichung beschriebene Kurve mit $\begin{eqnarray*} k_a \end{eqnarray*}$ . Man kann über $\begin{eqnarray*} k_a \end{eqnarray*}$ dann einiges ablesen.

1.
Vertauscht man in der Gleichung die Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , so geht die Gleichung in sich selbst über. Damit ist $\begin{eqnarray*} k_a \end{eqnarray*}$ symmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten.

2.
Ersetzt man in der Gleichung für $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ die Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ , so erhält man nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} a^3 \end{eqnarray*}$ die Gleichung für $\begin{eqnarray*} k_a \end{eqnarray*}$ . Damit geht $\begin{eqnarray*} k_a \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ durch Streckung vom Ursprung aus mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ hervor. Es genügt daher, $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.

Das Bild zeigt $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ .

[attach]9533[/attach]

Die Kurve läßt sich parametrisieren, zum Beispiel so:

$\begin{eqnarray*} k_1: \ \ \ x = \frac{3}{2} \sqrt[3]{(1-t)^2 (1+t)} \, , \ \ y = \frac{3}{2} \sqrt[3]{(1-t) (1+t)^2} \, ; \ \ t \in (-\infty,\infty) \end{eqnarray*}$

Es gilt nämlich:

$\begin{eqnarray*} 3xy = \frac{27}{4} (1-t)(1+t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3 + y^3 = \frac{27}{8} (1-t)^2 (1+t) + \frac{27}{8} (1-t)(1+t)^2 = \frac{27}{4} (1-t)(1+t) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} x^3 + y^3 = 3xy \end{eqnarray*}$

Zu deiner Lösung kann ich nichts sagen. Ich kann das Gekritzel nicht lesen. Beim Anklicken öffnet sich nur der Link "http://www.directupload.net", es erscheint aber kein vergrößertes Bild.

Differenziert man die Gleichung für $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so erhält man

$\begin{eqnarray*} 3x^2 + 3y^2 y' = 3 \left( y + xy' \right) \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} y'=0 \end{eqnarray*}$ gibt das $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ (mögliche Extrempunkte liegen also auf einer Parabel). Das setzt man in die Ausgangsgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} x^3 + \left( x^2 \right)^3 = 3x \cdot x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^3 \left( x^3 - 2 \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus kann man die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Stellen, die für $\begin{eqnarray*} y'=0 \end{eqnarray*}$ in Frage kommen, direkt ablesen. Dann wäre noch zu untersuchen, inwiefern da wirklich Extrema vorliegen. Das Bild oben illustriert ja die Situation.

09.01.2009, 17:15

Abakus

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Zitat:

Original von Varnish
an sich is das ja eigentlich offensichtlich, was da gemacht wurde wenns drum geht exstremwerte zu bestimmen ....:
1. bedingung für existenz nachgewiesen
2. erste ableitung der impliziten funktion
3. diese =0 gesetzt.

Leopolds Skizze zeigt ja, dass die Verhältnisse verwickelter sind; (0, 0) ist zB ein Knotenpunkt.

Zitat:

aber unklar ist mir: wie kann ich das x konkreter ausrechnen, was wäre ein hinreichendes kriterium für den nachweis der extrempunkte und wie kann ich art der extrema nachweisen ?
denn das liegt offensichtlich nicht an der form sondern am falschen rechenweg.

Mit richtigem Vorzeichen hättest du $\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{ay} \end{eqnarray*}$ .

Das setzt du in die Ausgangsgleichung einmal ein und erhälst weiter:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt[3]{4} \cdot a \end{eqnarray*}$

und durch weiteres Einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{2} \cdot a \end{eqnarray*}$

Für den anderen kritischen Punkt erhälst du $\begin{eqnarray*} (0, 0) \end{eqnarray*}$ .

Um das Maximum nachzuweisen, müsstest du zB noch die 2-te Ableitung ausrechnen (die müsste positiv sein), ansonsten schließt du einen Sattelpunkt ja nicht aus. Auch bei (0, 0) brauchst du zur Klassifikation die 2-ten Ableitungen.

Grüße Abakus smile

PS: Danke an Leopold für die Skizze!

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