Körpererweiterungen

08.01.2009, 17:19

Problemfinder

Körpererweiterungen

Hallo zusammen,

ich weiß dass solche Fragen eigentlich unüblich sind, aber ich muss ein paar Aussagen auf Richtigkeit prüfen und bin mir bei mehreren noch unsicher. Es wäre nett, wenn jemand mal kurz drüber gucken könnte um zu sagen ob meine Antwort und/oder meine Überlegungen dazu richtig sind. Vielen Dank.

$\begin{eqnarray*} Seien\ k_1=\mathbb Q( \sqrt{2}),k_2=\mathbb Q( \sqrt[3]{2}), k_3=\mathbb Q(i),k_4=\mathbb Q(e^{2\pi /3}), k_5=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},e^{2\pi /3}). \end{eqnarray*}$

Wahr oder falsch?
1. $\begin{eqnarray*} [k_2:\mathbb Q]=6 \end{eqnarray*}$
Falsch, das Minimalpolynom wäre doch von Grad 3, daher wäre der Grad der Körpererweiterung auch 3.

2. $\begin{eqnarray*} [k_4:\mathbb Q]=2 \end{eqnarray*}$
Falsch, ich komme mit meiner Variante das adjungierte Element fortgesetzt zu potenzieren nicht wirklich weiter...ich vermute aber den Grad unendlich.

3. $\begin{eqnarray*} k_1\simeq\mathbb Q[x]/(x^2-2) \end{eqnarray*}$
Richtig, für den Restklassenring müsste das doch passen.

4. $\begin{eqnarray*} k_3\simeq\mathbb Q[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$
Richtig, analog 3.

5. $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ Körperautomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi:k_1\rightarrow k_1\ mit \ \phi(\sqrt{2})=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Richtig, laut Wikipedia ist dies eine Galoiserweiterung, die Automorphismengruppe besteht aus der Identität und dem angegebenen Automorphismus.

6. $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ Körperautomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi:k_2\rightarrow k_2\ mit \ \phi(\sqrt[3]{2})=-\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$
Falsch, da dies analog 5 keine Galoiserweiterung ist.

7. Alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ liegen in k_2.
Falsch, kein Zerfällingskörper

8. Alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ liegen in k_5.
Richtig, Zerfällungskörper.

9. Es gibt einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} k_1\simeq\mathbb Q(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
Leider noch keine richtige Ahnung...Idee: Richtig, Begründung fehlt.

10. Es gibt einen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraumisomorphismus $\begin{eqnarray*} k_1\simeq k_3 \end{eqnarray*}$
Leider überhaupt keine Idee....ich finde keinen, aber das heißt ja nicht dass es keinen gibt.

11. $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
Falsch, wüsste nicht wieso?

So, dass war ne Menge Latex....wär echt lieb wenn mir jemand helfen könnte. Danke nochmals

08.01.2009, 18:32

Nubler

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hint zu k4: des mit dem erweitert wird is ne einheitswurzel

08.01.2009, 19:40

system-agent

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RE: Körpererweiterungen
Zu 9)
$\begin{eqnarray*} q\mapsto q \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\mapsto\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ .

Zu 10)
Beide Vektorräume sind von Dimension 2. In $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ kann man jedes Element als $\begin{eqnarray*} a+b\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ schreiben ( $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ) und in $\begin{eqnarray*} k_3 \end{eqnarray*}$ kann man jedes Element als $\begin{eqnarray*} a+bi \end{eqnarray*}$ schreiben ( $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ). Welche Basen könnte man also jeweils wählen?

Zu 11)
Überlege dir $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

08.01.2009, 19:45

kiste

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RE: Körpererweiterungen

Zitat:

Original von Problemfinder
$\begin{eqnarray*} Seien\ k_1=\mathbb Q( \sqrt{2}),k_2=\mathbb Q( \sqrt[3]{2}), k_3=\mathbb Q(i),k_4=\mathbb Q(e^{2\pi /3}), k_5=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},e^{2\pi /3}). \end{eqnarray*}$

Wahr oder falsch?
1. $\begin{eqnarray*} [k_2:\mathbb Q]=6 \end{eqnarray*}$
Falsch, das Minimalpolynom wäre doch von Grad 3, daher wäre der Grad der Körpererweiterung auch 3.

Stimmt

Zitat:

2. $\begin{eqnarray*} [k_4:\mathbb Q]=2 \end{eqnarray*}$
Falsch, ich komme mit meiner Variante das adjungierte Element fortgesetzt zu potenzieren nicht wirklich weiter...ich vermute aber den Grad unendlich.

Wenn k_4 so stimmt hast du recht. Sollte es allerdings e^(2pi*i/3) sein simmt die Aussage

Zitat:

3. $\begin{eqnarray*} k_1\simeq\mathbb Q[x]/(x^2-2) \end{eqnarray*}$
Richtig, für den Restklassenring müsste das doch passen.

Ja x^2-2 ist genau das Erzeugnis des Einsetzungshomos, also das Minimalpolynom

Zitat:

4. $\begin{eqnarray*} k_3\simeq\mathbb Q[x]/(x^2+1) \end{eqnarray*}$
Richtig, analog 3.

Richtig

Zitat:

5. $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ Körperautomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi:k_1\rightarrow k_1\ mit \ \phi(\sqrt{2})=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Richtig, laut Wikipedia ist dies eine Galoiserweiterung, die Automorphismengruppe besteht aus der Identität und dem angegebenen Automorphismus.

Stimmt. Das liegt daran dass $\begin{eqnarray*} -\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls 0 ergibt wenn man es in das Minimalpolynom einsetzt!

Zitat:

6. $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ Körperautomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi:k_2\rightarrow k_2\ mit \ \phi(\sqrt[3]{2})=-\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$
Falsch, da dies analog 5 keine Galoiserweiterung ist.

Deine Vermutung stimmt, die Begründung finde ich etwas schwammig. Nur weil es keine Galoiserweiterung ist heißt das nicht das es keine nicht-trivialen Automorphismen gibt!

Zitat:

7. Alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ liegen in k_2.
Falsch, kein Zerfällingskörper

Genau

Zitat:

8. Alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ liegen in k_5.
Richtig, Zerfällungskörper.

Naja bei dem e fehlt immer noch das i Augenzwinkern

sonst ist es keine komplexe EW

Zitat:

9. Es gibt einen Ringhomomorphismus $\begin{eqnarray*} k_1\simeq\mathbb Q(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$
Leider noch keine richtige Ahnung...Idee: Richtig, Begründung fehlt.

Mhh vermute eher nicht. Müsste dann nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \mapsto \pm \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ sein? Da sehe ich dann nen Widerspruch.

Zitat:

10. Es gibt einen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraumisomorphismus $\begin{eqnarray*} k_1\simeq k_3 \end{eqnarray*}$
Leider überhaupt keine Idee....ich finde keinen, aber das heißt ja nicht dass es keinen gibt.

Q-Vektorräume der Dimension sind isomorph zu Q^2

Zitat:

11. $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$
Falsch, wüsste nicht wieso?

Jap

08.01.2009, 19:58

Reksilat

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RE: Körpererweiterungen

Zitat:

7. Alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3-2 \end{eqnarray*}$ liegen in k_2.
Falsch, kein Zerfällingskörper

"Kein Zerfällungskörper" ist keine Begründung, sondern die Umformulierung der Aussage. Zeige, dass das Polynom auch komplexe NST hat, die dann nicht in $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ liegen können.

9. Nimm einen Ringisomorphismus $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ , dann sieht man leicht, dass $\begin{eqnarray*} \sigma(2)=2 \end{eqnarray*}$ ist und somit $\begin{eqnarray*} \sigma(\sqrt{2})^2=2 \end{eqnarray*}$ . Es ist aber $\begin{eqnarray*} \sigma(\sqrt{2})=a+b\cdot\sqrt{3},\; a,b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und damit kann man einen Widerspruch erzeugen.

09.01.2009, 09:37

Problemfinder

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Hallo und schon einmal vielen Dank für eure tatkräftige Hilfe.

In der Tat hat sich ein Druck/Tipp/Lesefehler eingeschlichen:

$\begin{eqnarray*} k_4=\mathbb Q(e^{2\pi i/3})\ und\ k_5=\mathbb Q(\sqrt[3]{2},e^{2\pi i/3}) \end{eqnarray*}$

Also das i habe ich nicht gelesen in der Aufgabe.

2. Wie Kiste sagt stimmt die Aussage dann....Verstehe aber noch nicht ganz wieso, da ich mit meinem Vorgehen, dem Potenzieren des adjungierten Elements nicht weiterkomme.

6. Zum Verständnis: Dann habe ich aber noch nicht genau kapiert scheinbar, wieso es sonst keine nichttrivialen Automorphismen gibt..jemand noch einen Hinweis?

7. Da hat Reksilat Recht, eine richtige Begründung ist das nach genauerem Nachdenken nicht. Reicht als Überlegung, dass es eine komplexe Nullstelle also eine komplexe Lösung für x^3=2 gibt, weil zeigen, bzw. ausrechen fällt mir grad nicht so leicht?

9. An den Isomporphismus von System-Manager hatte ich auch gedacht, kam aber nicht weiter....wieso funktioniert der denn nicht? Du meinst doch mit dem Widerspruch dass ich $\begin{eqnarray*} \phi(\sqrt{2}) = a+b*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ mit a und b aus Q darstellen kann richtig? Daraus kann ich schließen dass es keinen Isomorphismus gibt?

10. Als Basen könnte ich doch dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\ und\ i \end{eqnarray*}$ nehmen. Damit gäbe es dann einen Vektorraumisomorphismus?

Vielen Dank nochmal euch allen. So langsam kommt wieder etwas Licht ins Dunkel.

Lg
Problemfinder

09.01.2009, 10:46

Problemfinder

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Noch eine frage:

Was wäre mit der zu 11) ähnlichen Aussage: $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb Q(\sqrt{-2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\sqrt{2})\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ für die Erweiterung mit Wurzel zwei leuchtet ein, wie System-Manager das auch sagte. Aber für die mit WUrzel aus -2? i müsste ja zwar vorkommen, aber als "einzelnes" Element, oder immer nur in Verbindung mit Wurzel 2 also:

$\begin{eqnarray*} a+b\cdot i\sqrt{2}; a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Danke.

09.01.2009, 12:21

Nubler

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ist $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ drin? weil des müsst bei der existenz von i in dem körper auch drin sein.

09.01.2009, 12:30

Reksilat

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Zitat:

7. Da hat Reksilat Recht, eine richtige Begründung ist das nach genauerem Nachdenken nicht. Reicht als Überlegung, dass es eine komplexe Nullstelle also eine komplexe Lösung für x^3=2 gibt, weil zeigen, bzw. ausrechen fällt mir grad nicht so leicht?

Die einfachste Begründung ist hier, dass $\begin{eqnarray*} x^3-2 \end{eqnarray*}$ auf ganz IR streng monoton wachsend ist. Damit kann die Funktion nur eine reelle Nullstelle haben.

Zitat:

9. An den Isomporphismus von System-Manager hatte ich auch gedacht, kam aber nicht weiter....wieso funktioniert der denn nicht? Du meinst doch mit dem Widerspruch dass ich $\begin{eqnarray*} \phi(\sqrt{2}) = a+b*\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ mit a und b aus Q darstellen kann richtig? Daraus kann ich schließen dass es keinen Isomorphismus gibt?

Nun, der Isomorphismus von system-agent(!) wäre ja nur ein möglicher, aber dann wäre $\begin{eqnarray*} 2=\phi(2)=\phi(\sqrt{2}^2)=\phi(\sqrt{2})^2=\sqrt{3}^2=3 \end{eqnarray*}$ ein Widerspruch. Auch ein beliebiger Isomorphismus muss $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auf ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ abbilden, also $\begin{eqnarray*} \phi(\sqrt{2})=a+b\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Quadrierst Du diese Gleichung, kannst Du ebenfalls einen Widerspruch erzeugen.

Zitat:

10. Als Basen könnte ich doch dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\ und\ i \end{eqnarray*}$ nehmen. Damit gäbe es dann einen Vektorraumisomorphismus?

Eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum wäre $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt{2}\} \end{eqnarray*}$

12.01.2009, 12:20

Problemfinder

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Hallo,

vielen lieben Dank für eure HInweise, hat mir sehr geholfen.

bei der frage ob $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb Q(\sqrt{-2}): \end{eqnarray*}$ danke für den Hinweis, $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist meiner Meinung nach nicht drin, daher auch i nicht.

Mit den Vektorraumis- RInghomomorphismen kann ich jetzt auch schon wesentlich mehr anfangen. Die Basis (@Reksilat) leuchtet natürlich nach kurzem Nachdenken ein. Entsprechen die zweite Basis (1,i)

Danke!

Problemfinder

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