[Numerik I] - Übung 11 *

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[Numerik I] - Übung 11 *
Übung 11

  1. Spektralradius als Grenzwert

  2. Matrix-Potenzreihen und ihre Eigenschaften

  3. Exponentialreihe
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
11.1 Spektralradius bestimmen.
Submultiplikative Norm bedeutet.



Das bedeutet z.B.



und es folgt:



In welchen Zusammenhang können wir nun die Matrixnorm und den Spektralradius setzten? Bekannt sind die Abschätzungen.








********************



Damit ergibt sich sofort:



Und daraus folgt auch die Behauptung.




********************
Hierzu brachen wir (2). Wir definieren eine Matrix B als skalares Vielfaches von A.



Für den Spektralradius dieser Matrix gilt:



Den Faktor c können wir so wählen, dass gilt:



Die JNF der Matrix B hat dann nur Einträge auf der Diagonalen, die betragsmäßig keiner 1 sind. Wir können die JNF als Summe einer Diagonalmatrix und einer Matrix der Nebendiagonale (nilpotent!) notieren. Dann gilt mit dem binomischen Lehrsatz:



Somit können wir durch Abschätzung zeigen, dass gilt:



Damit ergibt sich dann, dass es ein gibt, ab dem gilt:



Damit folgt aus der Definition von B



Mit dem Ziehen der Wurzel folgt die Behauptung, da die Gleichung für alle k > k0 und alle Epsilon > 0 erfüllt ist.
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11.2 Potenzreihen
Für die Aufgaben (d) und (e) sind nur die Definitionen für die Addition und Multiplikation von Reihen anzuwenden. So können analog zur komplexen Potenzreihe die Matrixpotenzreihen definiert werden. Je nach Buch/Skript werden diese Definitionen ggf. von dem Konvergenzverhalten der Reihen abhängig gemacht.


Voraussetzungen

Seien , reelle Potenzreihen mit Konvergenzradius und


Teil 1:

Nun definiert man:



und soll zeigen, dass gilt



Wir nutzen erst einmal die formale Definition:



Mit den Rechenregeln für Matrizen ergibt sich analog:



Teil 2:

Nun soll multipliziert werden, mit Cauchyprodukt.



Dann ergeben sich für



die Reihenglieder




In wie weit nun eine allgemeine Definition sinnvoll ist, muss jeder selbst entscheiden. Bei Reihen interessiert aber vor allem die Frage, nach Konvergenz oder Divergenz und wie sich diese Eigenschaften wohl auf die Summe / Produkt übertragen. Es gilt:

  • Potenzreihen sind auf ihren Konvergenzgebiet absolut konvergent.

  • Die Summe von absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent.

  • Das Cauchyprodukt von absolut konvergenten Reihen ist absolut konvergent.


Wir müssen uns also die Frage stellen, ob die Matrixreihen f(A) und g(A) auch absolut konvergent sind. Dazu verwenden wir das Wurzelkriterium. Wir müssen prüfen, wann gilt:



dann konvergiert die Reihe dort absolut. Es gilt nun für die linke Seite



Nun wissen wir, dass die Potenzreihe konvergiert, daher können wir mittels des Konvergenzradius nach der Formel von Cauchy-Hadamard schreiben:



Ferner wissen wir aus Aufgabe 11.1:



Und somit ergibt sich aus der Konvergenzbedingung



Schließlich die Behauptung




D.h. mit dem Wissen um die komplexe Potenzreihe haben wir ein Konvergenzkriterium für Matrizen gefunden. Was ergibt sich daraus für die Summen und das Cauchyprodukt? Für deren Konvergenzradius R gilt:



Somit konvergieren diese Matrixreihen ebenfalls.


Teil 3:

Sei T nun eine invertierbare Matrix, so gilt:



Sie nun ein Eigenwert von A mit Eigenvektor so folgt:

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
11.3 Exponentialfunktion für Matrizen
Wie verhalten sich die Rechenregel für Potenzen, wenn man im Exponenten eine Matrix hat. Zunächst stellt sich die Frage nach der Definition



Nun stellt sich die Frage, ob im Allgemein noch gilt:



Damit die Reihen handlich werden, wählen wir zwei nilpotente Matrizen, um die Behauptung zu widerlegen.





Somit widerlegt sich die Behauptung wie folgt:



Es ergibt sich die Frage, ob man das Problem dadurch beheben kann, dass A und B kommutieren.



Dazu benötigt man das CauchyProdukt:





Nun ist



Es folgt:





Nun kommutieren A und B und die Summe ist wegen des Binomalkoeffizienten symmetrisch.



Somit folgt:




Ist nun aber AB=BA eine notwendige Voraussetzung?

Nein, wie das folgende Beispiel zeigt. Generell kommutieren aber nicht (siehe oben)



Einsetzen liefert



Womit die Kommutativität mit folgt.
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