Abbildungen, Beweise und die liebe Sprache(2)

08.01.2009, 23:36	calyton	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Nacht, hab ich mir noch was ausgedacht Ich stecke nämlich jetzt auch noch bei einer "rechnerischen" Aufgabe(im Gegensatz zu einer "zeigen Sie/beweisen Sie"Aufgabe) fest. Da es sich wieder um Abbildungen handelt, hab ich mal keinen zweiten Thread aufgemacht, ich hoffe die Übersichtlichkeit zu meinem ebigen Post geht nicht verloren. Wenn ja, kann ich den auch verschieben! (kann ich das? ) -------------------------------- Nun zu der Aufgabe: -------------------------------- a.) Gegeben sei die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} T:\mathbb R^9\to\mathbb R^9 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} T(F,L,O,H,M,A,R,K,T)= (K,L,O,H,M,A,R,F,T) \end{eqnarray}$ i.) Geben Sie die Abbildung in der Form $\begin{eqnarray} T(x)=Ax \end{eqnarray}$ an. ii.) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} T^2(F,L,O,H,M,A,R,K,T) \end{eqnarray}$ iii.) Ist A idempotent? --------------------------------- Zum Teil b.) komme ich, wenn ich da mal den Ansatz verstanden hab. Steht da jeder Buchstabe für eine Variable? z.B.: $\begin{eqnarray} T(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9)= (x8,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x1,x9) \end{eqnarray}$ ? Wäre damit $\begin{eqnarray} T(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} x_8 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_1 & x_9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ??? Aber was passiert dann, wenn ich das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ "herausziehe" weil ich ja die Form $\begin{eqnarray} T(x)=Ax \end{eqnarray}$ benötige! und $\begin{eqnarray} T(\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_4 & x_5 & x_6 \\ x_7 & x_8 & x_9 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} x \end{eqnarray*}$ kanns ja schlecht sein! Zu Hilfe
09.01.2009, 10:52	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn du dich im $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^9 \end{eqnarray}$ bewegst, dann handelt es sich bei deinen Variablen wohl um 9-zeilige Vektoren. Die kannst du nicht mit einer 3x3 Matrix multiplizieren. Und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist vermutlich eine Matrix. Du sollst also eine Matrix finden, die den ersten mit dem achten Eintrag des Vektors vertauscht. Dass diese Matrix mit einem 9 dimensionalen Vektor mulitiplizierbar sein muss, versteht sich von selbst
09.01.2009, 11:53	calyton	Auf diesen Beitrag antworten »
Heißt das, dass die Lösung dafür eine $\begin{eqnarray} 9\times 9 - Matrix \end{eqnarray}$ wäre, die der Einheitsmatrix ähnelt, nur mit entsprecheneder Vertauschung der ersten und achte Spalte? In etwa so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_8 \\ x_9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_8 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_1 \\ x_9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
09.01.2009, 17:34	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, das müsste hinkommen.

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