Spektralradius

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralradius
habe gerade den Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Spektralradius gelesen. Wie kann man denn zum Beweis des Folgenden ansetzen?

Es gilt für jede induzierte Matrixnorm:



Gruß,
tigerbine
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Es gilt ja



Mit der Submultiplikativität der induzierten Matrixnorm folgt z.B.





Nun gilt für die Eigenwerte von A² gerade die EW von A zum Quadrat. Da der Spektralradius eine betragsmäßige Angabe ist, kann man sagen:





Somit können wir eine untere Schranke für alle k angeben:



Jetzt müßte man noch zeigen, dass



fallend ist, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Das würde die Konvergenz zeigen, aber der Grenzwert könnte dann immer noch echt größer als sein.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Folgerung? Die Idee führt zu nichts oder es fehlt noch was im Beweisansatz?

Gruß Wink
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Mir fällt auch nichts elementares ein, aber im Werner (Funktionalanalysis) wird das bewiesen. Hier wird der Spektralradius sogar über diesen Grenzwert eingeführt.

Kann man auch online nachlesen: Buchsuche bei Google und dann darin "Spektralradius" suchen. (Seite 259-260).

Ansonsten einfach mal in die Analysis verschieben, vielleicht hat da noch jemand eine gute Idee Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Ok, danke. Ich verschieb mich mal Augenzwinkern
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
So, hab den Link gelesen...Aber so ganz steige ich da nicht durch.

Die erste geforderte Bedingung erhalten wir aus der Submultiplikativität.



Nun setzt es bei mir aber schon aus. Warum finde ich denn ein natürliches N, so dass gilt, für e>0



Weil gilt:



und wenn ich noch was draufhaue, fällt die Gleichheit weg.. Deswegen?

Gut nun stellt nimmt man n=kN+r. Und macht daraus...



bei dem nächsten Schritt hängst...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Babysteps... :-)


mit der Defintion von B dann



verwirrt
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Es ist (nicht ! Was sollte dann B sein?)

und

damit:


Nun ist beschränkt (nicht abhängig von n) und positiv, der rechte Faktor konvergiert also für zunehmendes n gegen 1...

Damit ist aber erst die Konvergenz gezeigt. Der Rest des Beweises ist bei mir zu lange her, da kenn ich mich nicht mehr aus.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Zitat:
Original von Reksilat
Es ist (nicht ! Was sollte dann B sein?)


Berechtigte Frage. Finger1 , da aich aus den Kleinbuchstaben einfache große mit Norm gemacht habe... Schäm...Also



Für die zweite Abschätzung macht es noch nicht klick...doch jetzt mit deinem



Danke. Nun versuch ich den Rest zu verstehen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spektralradius
Also wenn jemand anderes noch weiterhelfen könnte, wäre ich dankbar.
Faculty Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

hatte die Aufgabe gerade in Numerik und hab den Beitrag hier gefunden, wenn du noch Interesse daran hast, und es nicht schon gefunden hast seit Januar, kann ich dir dabei gerne weiterhelfen.

Grüße

Faculty
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das ist nett. Ich glaube, hier hatte ich das schon fertig dokumentiert. [Numerik I] - Übung 11 *

Wie habt ihr es gelöst? Wink
Faculty Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da hatte ich nicht geschaut, sorry.

Wir hatten's folgendermaßen gemacht:

Behauptung: ,

Beweis: Es sei , eine beliebige Matrixnorm und die Matrizen .

Sei , dann ist offensichtlich .
Das bedeutet es existiert eine natürliche Zahl so, dass ,
das bedeutet, also .

Sei , dann ist offensichtlich .
Das bedeutet, es existiert eine natürliche Zahl so, dass , ergo:
.

Es sei nun .

Kombiniert man dies nun, so erhält man , was nach der Definition gleich
ist.
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