Punkt in der Pyramide, der zu den eckpunkten denselben abstand hat

04.09.2006, 13:29

mathenoob

Punkt in der Pyramide, der zu den eckpunkten denselben abstand hat

Mahlzeit,

ich komm mal wieder nicht weiter, es geht um folgendes:

der punkt M1 ist von allen 5 eckepunkten einer pyramide gleichweit entfernt, bestimmen sie die koordinaten des punktes M1

mit eckpunkte sind die 4 eckpunkte der grundfläche A,B,C,D gemeint und die Spitze.
Es handelt sich um eine gleichseitige pyramide, und die grundfläche ist ein quadrat

Folgende angaben:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} C=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} D=\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} M=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} S=\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der punkt M ist der mittelpunkt der grundfläche

der Punkt muss ja auf der höhe liegen, denn da ist er ja schon von den 4 eckpunkten der grundfläche gleich weit weg. jetzt muss man nur noch so eine höhe bestimmen das der punkt auch von der spitze gleich weit weg ist. gibt es nicht eigentlich 2 punkte? einen noch unter der pyramide?

ich hab erstmal die geradengleichung aufgestell wo der punkt liegt, also M bis S, dafür hab ich M als stützvektor und die strecke MS also richtungsvektor gewählt

$\begin{eqnarray*} g: \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und hier komm ich nicht weiter, wäre sehr nett wenn mir da einer helfen könnte

Danke

04.09.2006, 13:34

JochenX

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Stelle doch mal zwei Funktionen auf.
Es sei d(t) der Abstand eines Punktes (mit t eingesetzt) zu einem der Eckpunkte und e(t) der Abstand zu S.

Bestimmen musst du dann alle t, für die d(t)=e(t) ist.

Du hättest es dir einfacher machen können:
wähle als Aufpunkt S und normiere den Richtungsvektor.
Dann ist e(t)=t.

04.09.2006, 14:02

mathenoob

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muss jetzt leider arbeiten, bin erst gegen 9 uhr weider da, werde es dann überdenken.

danke soweit

04.09.2006, 21:41

mathenoob

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hm ne sry, ich verstehe es grade total nicht, kann(st) (du) mir da einer bitte nen weiteren tipp oder lösungsansatz geben.

danke

04.09.2006, 22:15

JochenX

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Zitat:

Stelle doch mal zwei Funktionen auf.
Es sei d(t) der Abstand eines Punktes (mit t eingesetzt) zu einem der Eckpunkte und e(t) der Abstand zu S.

was verstehst du daran nicht?

Du hast deine Gerade mit den möglichen Punkten P(t).
Berechne also den Abstand des allgemeinen Punktes P(t) von S und von den Eckpunkten (dazu reicht ein Eckpunkt).
Dann hast du zwei "Abstandsfunktionen" Abstand(t). Diese beiden Abstände sollen gleich sein.

Wenn du's immer noch nicht verstehst, dann frag nochmal konkreter!

04.09.2006, 22:36

riwe

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kugel um A (stellvertretend für B, C und D) mit abstand r und kugel um S mit abstand r:
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} )^{2}=r^{2}=(\vec{x} -\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} )^{2} \end{eqnarray*}$
und x liegt auf g: t = 0.25
oder so ähnlich verwirrt

werner

04.09.2006, 22:37

mathenoob

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ich verstehe nich welche 2 geraden du meinst

meinst du vllt diese: M_1 ist jetzt angenommen der punkt von dem alle ecken gleich weit weg sind

dann ist ja:

M_1 - A = S - M_1

wenn ich die punkte aber gleich setzte führt das letzendlich zu keiner lösung.

naja ich versteh es im moment nicht, wäre schön wenn du lust hast die lösung zu posten, der lerneffekt wär dann zwar nicht so groß als ob ich selbst drauf gekommen wär, aber dann kann ich es eventuell nachvollziehen und hab doch was gelernt ( auch wenn nicht so viel). wenn du keine lust hast die lösung zu posten ist auch nicht schlimm.
ich gib auf, war ein harter schul + arbeitstag, heute geht nix mehr

EDIT: @ werner, mit kugeln haben wir noch gar nicht hantiert, das ist mir da völlig fremd Augenzwinkern

04.09.2006, 23:14

riwe

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Zitat:

Original von mathenoob

EDIT: @ werner, mit kugeln haben wir noch gar nicht hantiert, das ist mir da völlig fremd Augenzwinkern

das ist ja ganz wurscht Big Laugh

, ist ja nur eine andere formulierung der
abstandsformel,
der gesuchte punkt habe die koordinaten M1(x, y, z), dann ist der abstand
d(AM1) = d (SM1)
also
$\begin{eqnarray*} (x-5)^{2}+(y-1)^{2}+(z-0)^{2}=(x-6)^{2}+(y-3)^{2}+(z-7)^{2} \end{eqnarray*}$
und jetzt für x, y und z aus der geradengleichung einsetzen.
und wie oben
werner

05.09.2006, 00:52

mathenoob

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hm bekomm ich was fasches raus, für die linke seite der gleichung die geradengleichung nutzen ?

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und welche für die rechte?
und wieso überhaupt die klammern zum quadrat?

05.09.2006, 01:16

Bjoern1982

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Hallo

Zitat:

ich verstehe nich welche 2 geraden du meinst

LOED sprach nie von zwei Geraden.
Es ging immer nur um einen Punkt der Geraden, deren Parameterform du ja bereits aufgestellt hast.

Ich habe dir mal ne kleine Skizze gemacht.

Es geht nun darum zu untersuchen, wie man den Punkt M1 wählen muss, damit die Vektoren AM1 und SM1 dieselbe Länge besitzen, also denselben Betrag haben.

D.h. es soll gelten $\begin{eqnarray*} |\vec{AM1}|= |\vec{SM1}| \end{eqnarray*}$ (1)

Das entscheidene ist es jetzt den Punkt M1 als einen allgemeinen Punkt der Geraden g mit den Koordinaten x,y,z auszudrücken.

$\begin{eqnarray*} g:\vec{x} =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die x-Koordinate eines Punktes der Geraden g ist demnach 2+t*4,
die y-Koordinate eines Punktes der Geraden g ist demnach 1+t*2,
die z-Koordinate...

Wähle so deinen von t abhängigen Punkt M1 und bilde dann die entsprechenden Vektoren AM1 und SM1.

Zur Lösung der Gleichung (1) musst du nun den Betrag der beiden Vektoren bilden.

Es gilt für den Betrag eines Vektors:

$\begin{eqnarray*} |\vec{a}|= |\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} |\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \end{eqnarray*}$

Diese quadratische Gleichung enthält ja nur eine Variable, also t, nach welcher du dann bequem auflösen kannst.

t in g eingesetzt liefert dir somit den gesuchten Punkt von g für den die Gleichung (1) erfüllt ist.

Gruß Björn

05.09.2006, 08:23

mathenoob

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danke

08.11.2009, 23:45

Kevin12333

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Danke
Björn du bist der Hammer, 1000. DanK!

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