limes superior und limes inferior

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09.01.2009, 21:22	miamaria	Auf diesen Beitrag antworten »
limes superior und limes inferior Kann mir vllt jemand erklären, wie man den limes superior und den limes inferior berechnet? Ich weiß, dass der limes superior der größte Häufungspunkt einer Folge und der limes inferior der kleinste häufungspunkt einer Folge ist. Aber ich weiß irgednwie trotzdem nicht, wie ich das dnan berechnen soll. wenn ich jezz zum beispiel die Folge an=(-1)hoch n 1/n habe. Wie würde ich da denn dann vorgehen??
09.01.2009, 21:26	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. Ich vermute einmal du sprichst von der Folge $\begin{eqnarray} a_n = (-1)^n\frac{1}{n}. \end{eqnarray}$ Hast du dir vlt schon einmal versucht das Ganze bildlich zu verdeutlichen? Was sind Häufungswerte? Was genau bedeutet das $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ für die einzelnen Glieder?
09.01.2009, 21:29	miamaria	Auf diesen Beitrag antworten »
dass das ganze alterniert und es immer wnen n gerade ist ein negatves vorzeichen hat. das is mir shcon klar. aber es gibt doch gar keine richtigen häufungspunkte, oder? weil doch 1/n immer nen anderen wert hat...
09.01.2009, 21:33	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch es mal am Beispiel: $\begin{eqnarray} b_n := (-1)^n\frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ das ist anschaulicher . Ich will nur sehen, ob du verstanden hast, was Häufungswerte sind. (Einige Professoren nennen es auch bei Folgen Häufungspunkte, ich weiß...) Edit: Ein Bildchen dazu:
09.01.2009, 21:41	miamaria	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hatte das so verstanden, dass in der nähe vom häufungspunkt unendlichviele folgegleider liegen müssen. Aber wäre das dann hier nicht einfach beim normelen grenzwert? also bei 1? Und vllt noch bei (-1), wenn sich das vorzeichen umdreht. sind das dann limes inferior und superior?
09.01.2009, 21:41	miamaria	Auf diesen Beitrag antworten »
oh und ich glaub dein bild versteh ich nich
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09.01.2009, 21:56	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Im Unterschied zum Grenzwert liegen ab einem bestimmten Index unendlich viele Folgenglieder in der Umgebung. Die Aussage des Satzes ist nämlich nur, dass ein größter und ein kleinster Häufungswert existieren, jedoch nicht, dass sie verschieden sind . Deshalb besitzt auch jede konvergente Folge genau einen Häufungswert, den Grenzwert. Das Bild zeigt die Folge $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ graphisch. Im Beispiel ergeben sich also als Häufungswerte $\begin{eqnarray} 1, -1 \end{eqnarray}$ . Anschaulich ist das ganz klar. Die Folge lässt sich nämlich in 2 Teilfolgen darstellen, betrachten wie alle Glieder für gerade und ungerade, dann: $\begin{eqnarray} a_{2k} = \frac{2k}{2k+1} \to 1 \, (k\to \infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{2k+1} = -\frac{2k +1}{2k + 2} \to -1 \, (k\to \infty) \end{eqnarray}$ (So lassen sich übrigens die Häufungswerte aller Folgen dieser Form ermitteln.) D.h. also für deine Folge - wie du schon richtig gesagt hast - $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist Grenzwert und damit einziger Häufungswert. MfG
09.01.2009, 22:02	miamaria	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schön =) ich glaub jezz hab ich das halbwegs gecheckt. voll gut. Aber eine frage hab ich noch: als du das gerade in zwei teilfolgen geteilt hast (für gerade und ungerade) warum hast du das da dann nich mit n geschrieben? also: an (gerade)= n/(n+1) und an (ungerade) = -n/(n+1)
09.01.2009, 22:15	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eine Frage der Notation, denn du musst ja kenntlichen machen, dass du dich nur auf eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ beziehst. Übel ist auch noch die Variante: $\begin{eqnarray} a_{n_+} = \frac{n}{n+1} \to 1 \, (n\to \infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{n_-} = -\frac{n}{n+1} \to -1 \, (n\to \infty) \end{eqnarray}$ . Ich habe nur eine eindeutige Darstellung benutzt, denn wenn n eine Gerade Zahl ist, lässt sie sich gerade als $\begin{eqnarray} n = 2k \end{eqnarray}$ , für ein $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ darstellen, wenn sie ungerade ist als $\begin{eqnarray} n = 2k+1 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Daraus ergibt sich auch gerade $\begin{eqnarray} (-1)^{2n} = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}(-1) = -1 \end{eqnarray}$ Man muss auch nicht unbedingt eine neue Variable einführen, es wäre auch die Darstellung $\begin{eqnarray} a_{2n} = \frac{2n}{2n+1} \to 1 \, (n\to \infty) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{2n+1} = -\frac{2n +1}{2n + 2} \to -1 \, (n\to \infty) \end{eqnarray}$ möglich.

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