Frage zu Bild & Kern

10.01.2009, 00:12

pingu

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Frage zu Bild & Kern

Hallo zusammen,

ich hätte da ne Frage. Ich dachte, ich wüsste, wie man den Kern und das Bild einer lin. Abbildung berrechnet, aber beim Lösen einiger Aufgaben funktionierts eben doch nicht immer so, wie ich gedacht habe.

Ich habe mir folgendes notiert:

Für Bild:
1) $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ bilden
2) auf Zeilenstufenform bringen
3) Alle von 0 verschiedenen Spalten für Basis des Bildraumes wählen

Für Kern:
1) Auf Normierte Zeilenstufenform bringen
2) gl.system lösen
3) Lösungsvektor = Basis von Kern

Bei folgender Aufgabe wurde bei a) nicht $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ gebildet, dafür bei b), also genau umgekehrt, wie ichs notiert habe. Wo liegt da der Fehler?

Es sei F : R4 -> R3 die lineare Abbildung, die durch
$\begin{eqnarray*} F(x; y; s; t) = (x - y + s + t; x + 2s - t; x + y + 3s - 3t) \end{eqnarray*}$
definiert ist. Geben Sie eine Basis und die Dimension an
a) für das Bild U von F,
b) für den Kern W von F.

lg
pingu

10.01.2009, 00:20

tigerbine

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RE: Frage zu Bild & Kern
[Artikel] Basis, Bild und Kern

Sind das Zeilenvektoren? Die andere Argumentation beruht auf Spaltenvektoren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x; y; s; t) = (x - y + s + t; x + 2s - t; x + y + 3s - 3t) \end{eqnarray*}$

10.01.2009, 00:25

pingu

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So wie ich das verstehe schon, steht zumindest so in der Aufgabenstellung.

10.01.2009, 00:26

tigerbine

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Naja, dann transponiert sich doch auch die vorgehensweise.

10.01.2009, 00:29

pingu

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Kleine Frage noch zum Artikel:

Zitat:

* Die transponierte Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ 2&4&0&2\\ 0 &3&0 &3 \\ 4 &8&4&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ 0&1&0.5&0.5 \\ 0&0&1 &-1 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \text{Im(f)=span} \{\begin{pmatrix} -1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0.5\\1\\0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Kann ich anstatt $\begin{eqnarray*} \text{Im(f)=span} \{\begin{pmatrix} -1\\0\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\0.5\\1\\0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ auch die ersten 3 Zeilen nehmen?

10.01.2009, 00:30

pingu

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Ah so verstehe. Das heisst desewegen wird genau das umgekehrte gemacht, geht klar, danke smile

smile

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10.01.2009, 00:35

tigerbine

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Nein, deswegen wurde doch transponiert. Mit der Begrünung:

Zitat:

Ginge es nur um ein Erzeugendensystem, so könnte man direkt die Spalten von M nehmen, sind dies doch die Bilder der Basisvektoren von V. Wie erhalten wir daraus aber eine Basis? Beim Gaussalgorithmus kombinieren wir Zeilenvektoren linear miteinander. Somit muss die Transponierte Matrix $\begin{eqnarray*} M^T \end{eqnarray*}$ auf Treppengestalt gebracht werden.

Dadurch kombinieren wir die Spaltenvektoren von M linear.

10.01.2009, 00:39

pingu

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Stimmt. Bei der Aufgabe jedoch darf ich das aber tun, oder? Schliesslich wurde der Kern transponiert.

10.01.2009, 00:42

tigerbine

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Bei der Aufgabe ist eben alles "andersrum". Auch die Matrix. Oder du notierst es transponiert und transponierst es am ende zurück.

10.01.2009, 00:51

pingu

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gut, dann versuch ichs nochmal, danke :-) und gute nacht.

10.01.2009, 16:28

pingu

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RE: Frage zu Bild & Kern
Hallo,

ich hätte da doch noch eine Frage zu Beispiel 2 aus dem Tutorial. Und zwar zum Bild. Es hat doch da gar keine Nicht-Kopf-Variable mehr...? Und wieso nimmst du jetzt in diesem Fall die Zeilen als Basis?

10.01.2009, 16:32

tigerbine

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RE: Frage zu Bild & Kern
Nicht-kopf? verwirrt

verwirrt

Gauss macht linearkonbinationen voon Zeilenvektoren. Das Bild ist Lk der Basisbildvektoren. Deswegen.

10.01.2009, 17:05

pingu

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Das hab ich so in der Vorlesung gelernt, mag sein, dass der Begriff nicht geläufig ist. Damit kann man bestimmen wie viele Elemente eine Basis besitzt. Und mit einer Nicht-Kopf-Variable ist gemeint, wenn die Matrix, nachdem sie mit Gauss umgeformt wurde, nicht auf jeder Stufe einen Kopf, also eine 1 besitzt. Aber bei nicht quadratischen Matrizen ist mir manchmal nicht ganz klar wie ich das anstellen soll (siehe Anhang).

Hm.. deine Erklärung verstehe ich leider nicht wirklich, könntest du das noch näher erläutern? verwirrt

verwirrt

10.01.2009, 17:09

tigerbine

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Ich weiß nicht, wie ich mich noch anders ausdrücken soll. In den Spalten einer Matrix A stehen die Bilder der Basisvektoren. Das Bild(A) ist dann sas Erzeugnis dieser Spaltenvektoren. Wenn nun die Matrix aber nicht den vollen Rang besitzt, so müssen wir ja irgendwie an eine Linear unabhängige Teilmenge kommen.

Wir müssen also die Spaltenvektoren mit einander linear kombinieren. Das geht nicht mit Gauss, da dieser Zeilenvektoren kombiniert. Deswegen Transponiert man die Matrix.

Ok, nun weiß ich was du mit "nicht Kopf" meinst, aber den Begriff kannte ich nicht.

10.01.2009, 17:39

pingu

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Damit bin ich einverstanden, nur im letzten Schritt hätte ich die Spalten als Basisvektoren genommen, wie es auch in Beispiel 1 gemacht wurde. Tut mir Leid, dass ich so auf dem Schlauch stehe unglücklich

unglücklich

10.01.2009, 17:54

tigerbine

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Jo, wie Bsp.1. Am besten ich rechne das mal...

10.01.2009, 18:27

tigerbine

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RE: Frage zu Bild & Kern

Zitat:

Original von tigerbine
Sind das Zeilenvektoren? Die andere Argumentation beruht auf Spaltenvektoren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F(x; y; s; t) = (x - y + s + t; x + 2s - t; x + y + 3s - 3t) \end{eqnarray*}$

Tranpsonieren wir uns das mal

$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix}x\\y\\s\\t \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}x - y + s + t \\ x + 2s - t \\ x + y + 3s - 3t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}1&-1&1&1 \\ 1&0&2&-1 \\ 1&1&3&-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun muss man die Spalten "l.u. machen", Maximal bekommen wir 3 Vektoren.

$\begin{eqnarray*} A^T = \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ -1&0&1 \\ 1&2&3 \\ 1&-1&-3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Bringen wir mit Gauss auf eine andere Form.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 0&1&2 \\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit:

$\begin{eqnarray*} \text{Im(A)=span} \{\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\2 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$

Schauen wir mal, wie wir damit die Spalten von A bekommen. Die erste ist offensichtlich. Die zweite:

$\begin{eqnarray*} -\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0\\1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0\\1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}0\\1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das klappt also. Somit müssen wir die Zeilenvektoren nehmen.

Ich habe da im Workshop das im letzten Schritt von Beispiel 1 falsch hingeschrieben. Bei 2 passt es. Danke für die Aufmerksamkeit. Freude

Freude

12.01.2009, 14:29

pingu

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Ah gut, danke. Ja jetzt sollte es klappen smile

smile

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