[Numerik I] - Übung 1 *

Neue Frage »

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
[Numerik I] - Übung 1 *
Aufgaben Teil 1

  1. Gleitpunktoperationen

  2. Relative Fehler

  3. Operatornormen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
1.1 Gleitpunktoperationen
Dass diese Operationen nicht distributiv sind, zeigt man am einfachsten durch ein Beispiel:




tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
1.2 Relative Fehler
Es bezeichnet fl(x) die Gleitpunktdarstellung einer Zahl (floating point). Nun enstehen dadurch bereits bei der Eingabe Fehler. Der relative Fehler für eine reelle Zahl lautet:




Nun sei die Abbildung differenzierbar. Was ergibt sich dann für denn relativen Fehler der Bilder? Dabei beachten wir nicht, dass auch das Funktionsergebnis ggf. wieder gerundet werden muss, sondern gehen von exakter Rechnung aus:




Der Übersichtlichkeit verwenden wir die Schreibweise:




Wir entwickeln die Funktion nach dem Satz von Taylor (1. Ordnung) mit der (Jacobi-Matrix). Dabei entwickeln wir um x, da wir uns für die Werte bei interessieren.









Mit der Matrix-Vektor-Schreibweise wird deutlich, dass man dies wie folgt zusammenfassen kann:




Somit erklärt sich die folgende Summenschreibweise von selbst. Da wir uns für den relativen Fehler interessieren, ergibt sich.




Dies lässt sich analog für Funktionen des Typs :





Nun betrachten wir bestimmte Funktionen, die wir in Algorithmen immer wieder brauchen werden. Wie sehen dort die rel. Fehler 1. Ordnung aus?

  • Quadratwurzel ziehen






  • Addition/Subtraktion






  • Division






  • Multiplikation








Lehrer Fazit:

Mutiplizieren, Dividieren und Wurzelziehen sind keine gefährlichen Operationen. Die relativen Fehler der Eingabedaten pflanzen sich nicht stark in das Resultat fort.

Bei der Addition ist eine Fallunterscheidung nötig. Sowohl Fehlerdämpfung als auch Verstärkung ist möglich.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
1.3 Operatornormen
In leicht anderer Notation:




Beweis (1):

Auf Grund der Normeigenschaften, kann man wie folgt mit dem Skalar 1/||x|| erweitern:




Beweis (2):

Die Ungleichung ist klar, da rechts das Supremum über eine größere Menge genommen wird.

Andererseits ist




Die Beweise zur Zeilensummennorm und Spaltensummenorm sind verlinkt.







Beweis:



Weil wir links auch wie folgt schreiben können:



und rechts einfach konkret einen Vektor angeben. Somit ist das Supremum größer oder gleich m.




Sei x ein beliebigen Vektor mit , dann folgt mit der Abschätzung:



die Behauptung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hier geht es weiter: [Numerik I] - Übung 2 *
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »