Kugel und Ebene

10.01.2009, 13:21

el_patschino

Kugel und Ebene

Ich habe eine Ebene und eine Kugel und will prüfen, ob die sich schneiden, berühren oder überhaupt nicht schneiden. Ist folgender Lösungsweg richtig?

Ebene E: $\begin{eqnarray*} 3x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Normalenvektor der Ebene ist also:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \qquad \end{eqnarray*}$

Kugelgleichung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} K: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \right]^2 \qquad = 12 \end{eqnarray*}$

Also habe ich eine Gerade, die durch die Ebene verläuft und durch den Punkt P:

$\begin{eqnarray*} \vec{g}: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) + t * \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Richtungsvektor der Geraden ist gleich Normalenvektor der Ebene und Stützvektor ist gleich der Mittelpunkt der Kugel. Nun $\vec{g}$ in die Ebenengleichung einsetzen und nach t auflösen, habe einen Punkt P. Und jetzt den Abstand des Punktes P und M ausrechenen und mit dem Radius der Kugel vergleichen. Wenn kleiner, dann ist die Ebene voll in der Kugel, wenn gleich, dann wird nur berührt und ansonsten schneiden die sich gar nicht. Stimmt dieser Lösungsweg? Oder gibt es einen anderen.

11.01.2009, 00:25

mYthos

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RE: Kugel und Ebene
Der Weg ist richtig, wenn auch nicht der kürzeste. Schneller geht es, wenn du den Normalabstand n des Kugelmittelpunktes von der Ebene direkt mit der Hesse'schen Normalform bestimmst:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x_1 + 2x_2 + 4x_3}{\sqrt{29}} = 0 \end{eqnarray*}$

Kugelmittelpunkt einsetzen:

$\begin{eqnarray*} n = \frac{3 + 4 + 12}{\sqrt{29}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Nun kannst du n wie beschrieben mit r vergleichen ...

mY+

18.05.2009, 14:48

Schnuk

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RE: Kugel und Ebene
Mal eine ziemlich blöde Frage, wie kommt man denn hierbei auf den Mittelpunkt der Kugel?

18.05.2009, 14:54

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} K: \left[\vec{x} - \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \right]^2 \qquad = 12 \end{eqnarray*}$

Den kann man hier ablesen, das ist eben die vektorielle Variante im Gegensatz zu deiner Koordinatengleichung aus dem Beitrag vorhin.

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