Wachstumsprozess

10.01.2009, 18:10

Felix

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Wachstumsprozess

Eine Bakterienpopulation mit der Anfangsgröße $\begin{eqnarray*} u_0 = 10000 \end{eqnarray*}$ habe eine tägliche Wachstumsrate von 10%. Nun soll ich die Menge der Bakterien nach 10 Tagen berechnen.

Nach meinem Mathebuch müsste ich $\begin{eqnarray*} u_0e^{(1/10)\cdot 10} = u_0 \cdot e \end{eqnarray*}$ rechnen.

Nun ergibt das meiner Meinung nach aber kein Wachstum von 10% pro tag dieses müsste ja eine Bakterienzahl von $\begin{eqnarray*} u_0 \cdot (1 + \frac{1}{10} )^{10} \end{eqnarray*}$ ergeben.

Warum sollte ich $\begin{eqnarray*} \delta t \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen lassen wenn ich doch eine Wachstumsangabe über einen ganzen Tag habe.

Kann mir da jemand weiterhelfen ?

lg

10.01.2009, 19:04

sulo

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RE: Wachstumsprozess
Hi, also ich kann diese Feststellung nicht nachvollziehen:

Zitat:

Warum sollte ich $\begin{eqnarray*} \delta t \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen lassen

Weiterhin würde ich sagen:

$\begin{eqnarray*} u_n = u_0 \cdot (1 + \frac{1}{10} )^{10} = u_0 \cdot 1,1^{10} \end{eqnarray*}$

Was hat das mit dem $\begin{eqnarray*} u_0 \cdot e \end{eqnarray*}$ auf sich? Gruß, sulo

10.01.2009, 19:16

Felix

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RE: Wachstumsprozess

Zitat:

Original von sulo
Hi, also ich kann diese Feststellung nicht nachvollziehen:

Zitat:

Warum sollte ich $\begin{eqnarray*} \delta t \end{eqnarray*}$ gegen 0 gehen lassen

Weiterhin würde ich sagen:

$\begin{eqnarray*} u_n = u_0 \cdot (1 + \frac{1}{10} )^{10} = u_0 \cdot 1,1^{10} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} u_{10} = u_0 \cdot (1 + \frac{1}{10} )^{10} = u_0 \cdot 1,1^{10} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nach dem Schema würde ich die Aufgabe ja auch berechnen nur mein Analysis Buch gibt eine andere Anleitung die mir aber in diesem Fall als unpassend erscheint, deswegen wollte ich fragen ob das andere auch so sehen.

lg

10.01.2009, 19:18

popel

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Das Problem würde ich an deiner stelle folgendermaßen angehen:

$\begin{eqnarray*} u_0 = 10'000 \Rightarrow u_1 = 11'000 \Rightarrow u_2 = 12'100 \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$
ok?
Da kann man bspw. erkennen das es sich um einen simplen ausdruck handelt, den man mit rekursiver folge def. kann, also mit $\begin{eqnarray*} u_{n+1} = u_n * \frac 1 {10} \end{eqnarray*}$
Hast du jetzt noch nen grafikfähigen taschenrechner dann ist das berechnen kein prob mehr.

10.01.2009, 19:21

sulo

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RE: Wachstumsprozess
@ felix
Ja, n = 10, von daher .... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und, welche Bakterienzahl hast Du nach 10 Tagen? (Mal abgesehen davon, dass sich Bakterien mit ganz anderen Raten vermehren, aber das ist ein anderes Thema ...)
Gruß, sulo

10.01.2009, 19:23

popel

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kleiner fehler:
$\begin{eqnarray*} u_{n+1}=u_n + u_n* \frac 1 {10} \end{eqnarray*}$

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10.01.2009, 20:15

Felix

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@ Popel

Wozu sollte ich eine rekursive Formel verwenden wenn es eine explizite Angabe für
$\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ gibt?

@ Sulo

Mein Problem ist folgendes :

Meiner Meinung nach müsste die Population zum Zeitpunkt t durch
$\begin{eqnarray*} u_t = u_0(1 + 1/10)^t \end{eqnarray*}$ gegeben sein. Hierbei stimmst du mir ja offensichtlich auch zu.

Nun steht in meinem Analysisbuch aber folgender Hinweis unter der Angabe :

$\begin{eqnarray*} u(t) = u_0e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$ mit t=10 und $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ . Das steht aber im Widerspruch zu meiner Annahme. Also entweder liege ich oder das Buch falsch, was mich aber verwundern würde zumal es sich ja hier auch nicht um einen Tippfehler handeln kann.

lg

10.01.2009, 20:36

sulo

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Ich weiß nicht, wo das e herkommt.
Es könnte doch nur sein, dass die Wachstumsrate $\begin{eqnarray*} e^a \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ ist????

10.01.2009, 20:46

sulo

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Jo, es ist folgendermaßen:
Für das Wachstum von Bakterien nimmst Du die Formel:

$\begin{eqnarray*} u_n = u_0\cdot e^{k\cdot n} \end{eqnarray*}$

wobei gilt:
$\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ = Anzahl der Bakterien am Anfang des Versuchs
$\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ = Anzahl der Bakterien nach einer Zeitspannen
n = Zeitspanne
k = Konstante für das Wachstum dieser Bakterien

10.01.2009, 21:01

Felix

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Was e mit der vorliegenden Aufgabe zu tun hat ist mir auch schleierhaft deshalb wende ich mich ja an euch Big Laugh

Big Laugh

Prinzipiell kommt e deshalb oft im Zusammenhang mit Veränderungsprozessen vor, weil viele dieser Prozesse dann besonders gut angenähert werden, wenn man nach dem Schema $\begin{eqnarray*} u(t + \delta t) = u(t) +\alpha u(t)\delta t= (1 + \alpha t)(u(t) \end{eqnarray*}$ verfährt und dabei $\begin{eqnarray*} \delta t \to 0 \end{eqnarray*}$ gehen lässt. Wenn man nun den Prozess über die Zeitspanne T betrachtet und das Intervall [0,T] durch die Zeitpunkte $\begin{eqnarray*} t_k := k(T/n) \end{eqnarray*}$ in n gleiche Teile teit. Jetzt nimmt man noch an, dass sich der Prozess auf den Teilintervallen durch das oben genannte Schema angenähert wird.
Demnach ist $\begin{eqnarray*} u(T)= u_n (=) (1 + \alpha\frac{T}{n})^nu_0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn man nun delta t gegen 0 gehen lässt, so erhält man nach einigen Grenzwertüberlegungen $\begin{eqnarray*} u(T) = u_0e^{\alpha T} \end{eqnarray*}$ .

Puh ^^ Das brauchst du jetzt natürlich nur lesen wenns dich interessiert Big Laugh

Big Laugh

lg

Edit: War nur die Antwort auf deinen ersten Post.

10.01.2009, 21:02

Felix

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Zitat:

Original von sulo
Jo, es ist folgendermaßen:
Für das Wachstum von Bakterien nimmst Du die Formel:

$\begin{eqnarray*} u_n = u_0\cdot e^{k\cdot n} \end{eqnarray*}$

wobei gilt:
$\begin{eqnarray*} u_0 \end{eqnarray*}$ = Anzahl der Bakterien am Anfang des Versuchs
$\begin{eqnarray*} u_n \end{eqnarray*}$ = Anzahl der Bakterien nach einer Zeitspannen
n = Zeitspanne
k = Konstante für das Wachstum dieser Bakterien

Das geht eben mMn deswegen nicht weil es sich mit der Angabe widerspricht ...

10.01.2009, 21:10

sulo

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Ähh, ich würde sagen: im Gegenteil.
Du bekommst ja sogar gesagt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u(t) = u_0e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$ mit t=10 und $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, Du sollst die Formel so anwenden wie angegeben.
Ich hab nachgeschaut, das e kann bei Wachstumsprozessen auftauchen (war mir allerdings auch noch nicht untergekommen oder ich hab's vergessen).

Da Du doch die Formel auf dem Silbertablett serviert bekommst, wende sie halt einfach an ..

10.01.2009, 21:13

Felix

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Das ist ja eben nicht die Angabe sondern ein Hinweis die Angabe lautet :

Zitat:

Eine Bakterienpopulation mit der Anfangsgröße $\begin{eqnarray*} u_0 = 10000 \end{eqnarray*}$ habe eine tägliche Wachstumsrate von 10%. Nun soll ich die Menge der Bakterien nach 10 Tagen berechnen.

Zitat:

Ich hab nachgeschaut, das e kann bei Wachstumsprozessen auftauchen (war mir allerdings auch noch nicht untergekommen oder ich hab's vergessen).

Siehe auch meine Ausführung Augenzwinkern

Augenzwinkern

lg

10.01.2009, 21:31

sulo

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Jo, ich sehe, was Du meinst.
Mit diesen Angaben:

Zitat:

Eine Bakterienpopulation mit der Anfangsgröße $\begin{eqnarray*} u_0 = 10000 \end{eqnarray*}$ habe eine tägliche Wachstumsrate von 10%. Nun soll ich die Menge der Bakterien nach 10 Tagen berechnen.

würde man die gute alte Formel nehmen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u_{10} = u_0 \cdot(1 + \frac{1}{10} )^{10} = u_0 \cdot 1,1^{10} \end{eqnarray*}$

Ok. Aber diesmal soll halt nicht mit dieser Formel gerechnet werden, deshalb der Hinweis:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u(t) = u_0e^{\alpha t} \end{eqnarray*}$ mit t=10 und $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ .

Wenn Du es mal vergleichend rechnest, kannst Du feststellen, dass die letztere Formel ein größeres Bakterienwachstum bedeutet.
Es ist dann halt einfach die richtigere Formel.
Es muss einem eben gesagt werden, wenn man nicht die Standardformel anwenden soll, denke ich.

10.01.2009, 21:35

Felix

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Ja zu dem Schluss bin ich jetzt auch schön langsam gekommen. Die Aufgabe hätte mMn aber anderst formuliert werden müssen z.b. Nach einem Tag sind 10% mehr vorhanden dann kann man sich anhand dessen alpha ausrechen und mit der formel ohne Probleme arbeiten. Oder man hätte wenigsten schreiben können, dass es sich um ein ungefähres Wachstum von 10% handelt. unglücklich

unglücklich

Dir aber vielen Dank smile

smile

10.01.2009, 21:45

sulo

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Jo, hast recht... Bis denn Wink

Wink

31.03.2009, 19:16

planck1885

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Reicht das nicht, wenn man einfach 10000*0,9^10=3486,784401 rechnet?

31.03.2009, 19:36

sulo

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@ planck1885

Entweder hast Du den Thread nicht gelesen oder nicht verstanden...

Dein Vorschlag ist jedenfalls nicht richtig, denn so nimmt die Population ab, nicht zu!

LG sulo

31.03.2009, 20:26

planck1885

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Oh, aber so müsste es doch richtig sein.

$\begin{eqnarray*} 10000*1,1^{10}=25937,4246 \end{eqnarray*}$

31.03.2009, 20:39

Felix

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Das wäre ja auch meine Vorgehensweise gewesen. Der Nachteil besteht natürlich darin, dass man mit diesem Modell die Population nur für jeden Tag berechnen kann. Mit einer e - Funktion kann man diese zu einem beliebigen Zeitpunkt angeben.
Die verwendete e-Funktion sollte aber auch mit dem Wachstum von 10% pro Tag übereinstimmen und das tut die Musterlösung in meinem Buch eindeutig nicht ...

lg

31.03.2009, 20:44

planck1885

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Ja gut, aber trotzdem wäre mit meinem Weg die Aufgabe gelöst.

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