Kreis

10.01.2009, 22:33

DOZ ZOLE

Kreis

Ich habe die Aufgabe die Gleichung eines Kreises anzugeben der durch die folgenden Punkte bestimmt ist:
$\begin{eqnarray*} A(1|-6) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(-3|2) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ der auf der Geraden $\begin{eqnarray*} g:\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} -37=0 \end{eqnarray*}$ liegt und den Kreis tangiert.

ich habe nun erstmal die beiden Punkte in die Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und erhalte

$\begin{eqnarray*} I: (1-x_M)^2+(-6-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_M^2-2x_M+y_M^2+12y_M+37=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: (-3-x_M)^2+(2-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_M^2+6x_M+y_M^2-4y_M+13=r^2 \end{eqnarray*}$

nun habe ich die zweite von der ersten gleichung subtrahiert:

$\begin{eqnarray*} I-II: -8x_M+16y_M=-24 \end{eqnarray*}$

nun habe ich die gleichung der gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umgestellt und in die enstandene Gleichung ( $\begin{eqnarray*} I-II \end{eqnarray*}$ ) für $\begin{eqnarray*} y_M \end{eqnarray*}$ eingesetzt so das ich folgendes erhalte:

$\begin{eqnarray*} -8x+16\frac{37+3x}{4}=-24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=-43 \Rightarrow y=-23 \Rightarrow C(-43|-23) \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich den Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ wieder in die Kreisgleichung eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} III: (-43-x_M)^2+(-23-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_M^2+84x_M+y_M^2+46y_M+2293=r^2 \end{eqnarray*}$

nun habe ich die dritte von der zweiten Gleichung substrahiert und erhalte:

$\begin{eqnarray*} II-III: -78x_M-50y_M=2280 \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich das folgende LGS gelöst:
$\begin{eqnarray*} I-II: -8x_m+16y_M=-24 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II-III: -78x_M-50y_M=2280 \end{eqnarray*}$

und erhalte folgende Lösung:

$\begin{eqnarray*} x_M=-\frac{2205}{103} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_M=-\frac{1257}{103} \end{eqnarray*}$

und daraus resultierent folgende Kreisgleichung:

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{2205}{103})^2+(y+\frac{1257}{103})^2=r^2 \end{eqnarray*}$

mein Problem ist nun nur das die Gleichung für die Punkte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ den gleichen wert für den Radius liefern aber für Punkt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht. Ich habe nach dem Fehler gesucht aber habe ihn leider nicht gefunden. Deshalb ist nun meine frage wo ich falsch gedacht habe bzw. wo ich mich verrechnet oder sonstige fehler gemacht habe.

MfG DOZ ZOLE

10.01.2009, 23:02

sulo

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RE: Kreis
Kann es sein, dass Du Dich hier verrechnet hast?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} III: (-43-x_M)^2+(-23-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_M^2+84x_M+y_M^2+46y_M+2293=r^2 \end{eqnarray*}$

43*2 = 86 und
43^2 + 23^2 = 1849 + 529 = 2378

Gruß, sulo

10.01.2009, 23:34

DOZ ZOLE

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oh stimmt. denn ergibt sich

$\begin{eqnarray*} III: x_M^2+86x_M+y_M^2+46y_M+2378=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II-III: -80x_M-50y_M=2365 \end{eqnarray*}$

denn ergibt sich als Lösung des LGS

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=-\frac{458}{21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=-\frac{521}{42} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k: (x+\frac{458}{21})^2+(y+\frac{521}{42})^2=r^2 \end{eqnarray*}$

10.01.2009, 23:49

sulo

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Ja, das habe ich auch raus. Und ich denke, es stimmt (Obwohl die Zahlen so schräg sind ... hat man nicht so gerne .... Augenzwinkern

)
Gruß, sulo

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