Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen

11.01.2009, 00:30	Sabrina19	Auf diesen Beitrag antworten »
Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen Betrachten Sie $\begin{eqnarray} f: X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: X^4-X^3-X+1 \end{eqnarray}$ als Polynome in $\begin{eqnarray} \mathbb Q[z] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\mathbb Z / 2\mathbb Z) [x] \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie jeweils ihren größten gemeinsamen Teiler und schreiben Sie diesen als Linearkombination von f und g. Für $\begin{eqnarray} \mathbb Q[z] \end{eqnarray}$ habe ich es gemacht, nur wie geht das für $\begin{eqnarray} (\mathbb Z / 2\mathbb Z) [x] \end{eqnarray}$ ? Was muss ich beachten bei der Division? Danke
11.01.2009, 15:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht im Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ mit zwei Elementen kein bißchen anders als im Körper der rationalen Zahlen. Der euklidische Algorithmus bringt dich ans Ziel. Du mußt halt nur die Rechenregeln in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ kennen: 1. kein Unterschied zwischen + und -, d.h. $\begin{eqnarray} 1 = -1 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} 1+1 = 1-1 = 0 \end{eqnarray}$
12.01.2009, 14:05	Sabrina19	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie mache ich das mit Polynomen? Ich muss zunächst diesen Schritt machen: $\begin{eqnarray} (X^5+X^4+X^3+X^2+X+1): (X^4-X^3-X+1)=(X+2)\cdot (X^4-X^3-X+1)+(3X^3+2X^2+2X-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (X^5-X^4 -X^2+X) \end{eqnarray}$ -------------------------------------- $\begin{eqnarray} (2X^4+X^3+2X^2+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2X^4-2X^3-2X+2) \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} 3X^3+2X^2+2X-1 \end{eqnarray}$ Wäre das in $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2\mathbb Z \end{eqnarray}$ so richtig? Kann ich mir kaum vorstellen.
12.01.2009, 17:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist etwas Wahres dran. Aber da man modulo 2 rechnet, gilt $\begin{eqnarray} 2 = 0 \, , \ \ -1 = 1 = 3 \end{eqnarray}$ Du solltest nur die "Zahlen" $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ verwenden. Und der Doppelpunkt und die Klammer dahinter gehören natürlich weg.
12.01.2009, 18:19	Sabrina19	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie mache ich das mit Polynomen? Ich muss zunächst diesen Schritt machen: $\begin{eqnarray} (X^5+X^4+X^3+X^2+X+1) : (X^4-X^3-X+1)=(X+0)\cdot (X^4-X^3-X+1)+(3X^3+2X^2+2X-1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (X^5-X^4 -X^2+X) \end{eqnarray}$ -------------------------------------- $\begin{eqnarray} (2X^4+X^3+2X^2+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2X^4-2X^3-2X+2) \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} 3X^3+2X^2+2X-1 \end{eqnarray}$ So etwa: Ich kann mir das bei Polynomen einfach nicht vorstellen.
13.01.2009, 11:32	Nubler	Auf diesen Beitrag antworten »
is eigentlich absolut genauso wie beim "normalen", nur dass statt 10-er potenzen potenzen in x stehen
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14.01.2009, 18:41	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchs mal so: $\begin{eqnarray} (X^5+X^4+X^3+X^2+X+1) : (X^4+X^3+X+1) \end{eqnarray}$ Bestimme jetzt Mal den ggT.

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